|
| 1 | ++++ |
| 2 | +date = '2025-10-11T23:17:48+08:00' |
| 3 | +draft = false |
| 4 | +title = '1011学习日志' |
| 5 | + |
| 6 | +categories="log" |
| 7 | + |
| 8 | +log=["数学","概率论","多维随机变量","二维正态分布","随机变量的独立性"] |
| 9 | + |
| 10 | ++++ |
| 11 | + |
| 12 | +## 数学-概率论 |
| 13 | + |
| 14 | +### 多维随机变量及其分布 |
| 15 | + |
| 16 | +1. n维随机变量及其分布函数 |
| 17 | + |
| 18 | + 1. n维随机变量的概念 |
| 19 | + 2. n维随机变量的分布函数的概念和性质 |
| 20 | + 1. 概念 |
| 21 | + 2. 性质 |
| 22 | + 1. 单调性 |
| 23 | + 2. 右连续性 |
| 24 | + 3. 有界性 |
| 25 | + 4. 非负性 |
| 26 | + 3. 边缘分布函数 |
| 27 | + |
| 28 | +2. 常见的两类二维随机变量--离散型随机变量与连续型随机变量 |
| 29 | + |
| 30 | + 1. 二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布 |
| 31 | + |
| 32 | + 1. 概率分布 |
| 33 | + $$ |
| 34 | + p_y = P\{X=x_i,Y=y_i\},i,j = 1,2,... |
| 35 | + $$ |
| 36 | + |
| 37 | + |
| 38 | + 2. 联合分布函数、边缘分布、条件分布 |
| 39 | + |
| 40 | + 1. 联合分布函数 |
| 41 | + $$ |
| 42 | + F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\} = \sum\limits_{x_i\leq x}\sum\limits_{y_i\leq y}p_{ij} |
| 43 | + $$ |
| 44 | + |
| 45 | + |
| 46 | + 2. 边缘分布 |
| 47 | + $$ |
| 48 | + p_{i\cdot} = P\{X=x_i\}=\sum_{j=1}^{\infty}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{j=1}^{\infty}p_{ij}(i=1,2,...) |
| 49 | + $$ |
| 50 | + |
| 51 | + $$ |
| 52 | + p_{\cdot j} = P\{Y=y_i\}=\sum_{i=1}^{\infty}P\{X=x_i,Y=y_j\}=\sum\limits_{i=1}^{\infty}p_{ij}(i=1,2,...) |
| 53 | + $$ |
| 54 | + |
| 55 | + |
| 56 | + |
| 57 | + 3. 条件分布 |
| 58 | + $$ |
| 59 | + P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{Y=y_j\}}=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} |
| 60 | + $$ |
| 61 | + |
| 62 | + $$ |
| 63 | + P\{Y=y_j|X=x_i\}=\frac{P\{X=x_i,Y=y_j\}}{P\{X=x_i\}}=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot }} |
| 64 | + $$ |
| 65 | + |
| 66 | + 2. 二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件概率密度 |
| 67 | + |
| 68 | + 1. 概率密度 |
| 69 | + |
| 70 | + 1. 概念 |
| 71 | + $$ |
| 72 | + F(x,y)=\int_{-\infty}^{y}dv\int_{-\infty}^{x}f(u,v)du,(x,y)\in\mathbf{R}^2 |
| 73 | + $$ |
| 74 | + |
| 75 | + 2. 二元函数$f(x,y)$是概率密度的充分必要条件为 |
| 76 | + $$ |
| 77 | + f(x,y)\geq 0,\int_{-\infty}^{+\infty}dy\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx = 1 |
| 78 | + $$ |
| 79 | + |
| 80 | + 2. 联合分布函数与概率密度、边缘概率密度、条件概率密度 |
| 81 | + |
| 82 | + 1. 联合分布函数与概率密度 |
| 83 | + |
| 84 | + 1. $F(x,y)$为$(x,y)$的二元连续函数，且 |
| 85 | + $$ |
| 86 | + F(x,y) = P\{X\leq x,Y\leq y\} = \int_{-\infty}^{y}dv\int_{-\infty}^{x}f(u,v)du |
| 87 | + $$ |
| 88 | + |
| 89 | + 2. 设G为平面上某个区域，则 |
| 90 | + $$ |
| 91 | + P\{(x,y)\in G\} = \iint\limits_{G}f(x,y)dxdy |
| 92 | + $$ |
| 93 | + |
| 94 | + 3. 若$f(x,y)$在点$(x,y)$处连续，则$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}$ |
| 95 | + |
| 96 | + 4. 若$F(x,y)$连续且可导，则$(X,Y)$是连续型随机变量，且$\dfrac{\partial^2F(x,y)}{\partial x \partial y}$是它的概率密度 |
| 97 | + |
| 98 | + 2. 边缘概率密度 |
| 99 | + |
| 100 | + 3. 条件概率密度 |
| 101 | + $$ |
| 102 | + f_{Y|X}(y|x) = \frac{f(x,y)}{f_X(x)} |
| 103 | + $$ |
| 104 | + |
| 105 | + 3. 常见的二维分布 |
| 106 | + |
| 107 | + 1. 二维均匀分布 |
| 108 | + |
| 109 | + 2. 二维正态分布 |
| 110 | + |
| 111 | + 1. 若$(X_1,X_2)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$,则 |
| 112 | + $$ |
| 113 | + X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2) |
| 114 | + $$ |
| 115 | + |
| 116 | + 2. 若$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$,且$X_1,X_2$相互独立，则 |
| 117 | + $$ |
| 118 | + (X_1,X_2)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;0) |
| 119 | + $$ |
| 120 | + |
| 121 | + 3. $(X_1,X_2)\sim N\Rightarrow k_1X_1+ k_2X_2 \sim N(k_1 , k_2\text{不全为零})$ |
| 122 | + |
| 123 | +3. 随机变量的相互独立性 |
| 124 | + |
| 125 | + 1. 概念 |
| 126 | + |
| 127 | + 1. 设二维随机变量$(X,Y)$的分布函数$F(x,y)$，边缘分布函数分别为$F_X(x),F_Y(y)$，如果对任意的实数$x,y$,都有 |
| 128 | + $$ |
| 129 | + F(x,y)=F_X(x)\cdot F_Y(y) |
| 130 | + $$ |
| 131 | + 则称$X$与$Y$相互独立，否则不相互独立 |
| 132 | + |
| 133 | + 2. 如果$n$维随机变量$(X_1,X_2,\cdots,X_n)$的分布函数等于边缘分布函数的乘积，即 |
| 134 | + $$ |
| 135 | + F(x_1,x_2,\cdots,x_n) = F_1(x_1)F_2(x_2)\cdots F_n(x_n) |
| 136 | + $$ |
| 137 | + 则称$X_1,X_2,\cdots,X_n$相互独立 |
| 138 | + |
| 139 | + 2. 相互独立的充要条件 |
| 140 | + |
| 141 | + 3. 相互独立的性质 |
| 142 | + |
| 143 | + 4. $X$与$Y$不独立的判断与证明 |
| 144 | + |
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