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可以证明[^1]此时有
266+
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$$
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E_F\approx E_F^0\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F^0}\right)^2\right]
269+
$$
270+
271+
#### 利用索末菲展开计算宏观物理量
272+
273+
**索末菲展开**：计算**自由电子费米气体**对应微观物理量$x(E)$的宏观物理量$X$的近似表达式：
274+
275+
$$
276+
\begin{aligned}
277+
X&=\int_0^{\infty}x(E)f(E)g(E)\mathrm dE\\
278+
&=\int_0^\infty \mathrm dE\left(\frac{\mathrm df}{\mathrm dE}\right)y(E),\quad \frac{\mathrm dy(E)}{\mathrm dE}=x(E)g(E)\\
279+
&=y(E)+\sum_{m=1}^\infty a_m(E)\frac{\mathrm d^{2m}}{\mathrm dE^{2m}}y(E)\bigg|_{E^0_F}(k_BT)^{2m}\,,a_1=\frac{\pi^2}{6}
280+
\end{aligned}
281+
$$
282+
283+
[^1]: 证明需要用到索末菲展开。参见我写的[这个博客](https://www.weitao-jiang.cn/blog_viewer.html?id=18)。
284+
285+
如内能
286+
287+
$$
288+
U=\frac{3}{5}NE_F^0+\frac{\pi^2}{6}g(E_F^0)(k_BT)^2\,,g(E_F^0)=\frac{3}{2}\frac{N}{E_F^0}
289+
$$
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291+
比热容
292+
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$$
294+
c_V=\frac{\mathrm dU}{\mathrm dT}=\frac{\pi^2}{2}N\frac{k_B^2T}{E_F^0}
295+
$$
296+
297+
对比经典比热容
298+
299+
$$
300+
c_V^{\text{经典}} = \frac{3}{2}Nk_B
301+
$$
302+
303+
可见量子统计获得的比热容比经典结果小得多，源于**泡利不相容**原理和**基态填充**。
304+
305+
#### 对索末菲模型的评价
306+
307+
索末菲模型很好的解释了多个物理量的**变化趋势**，但是仍与实验结果有偏差，主要的偏差在于
308+
309+
1. 电子态密度偏大
310+
1. 比热容偏小
311+
1. 不能真正解释电子长平均自由程、电阻与温度等问题。
312+
313+
| 物理量 | 经典力学 | 量子力学 |
314+
|---|---|---|
315+
| 能量 | $E(p)=\dfrac{p^2}{2m}$ | $E(k)=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}$ |
316+
| 电子质量 | $\dfrac{1}{m}=\dfrac{d^2E}{dp^2}$ | $\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{d^2E}{dk^2}$ |
317+
| 电子速度 | $v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{dE}{dp}$ | $v=\dfrac{1}{\hbar}\dfrac{dE}{dk}$ |

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1844+
1845+
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1846+
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对索末菲模型的评价
1850+
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18121856
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@@ -2025,6 +2069,73 @@ <h4 id="_10">高温情形</h4>
20252069
\mathrm dN = f(E)g(E)\mathrm dE
20262070
\]</div>
20272071
<p><img alt="alt text" src="assets/solid_1772594793414_png" /></p>
2072+
<p>可以证明<sup id="fnref:1"><a class="footnote-ref" href="#fn:1">1</a></sup>此时有</p>
2073+
<div class="arithmatex">\[
2074+
E_F\approx E_F^0\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F^0}\right)^2\right]
2075+
\]</div>
2076+
<h4 id="_11">利用索末菲展开计算宏观物理量</h4>
2077+
<p><strong>索末菲展开</strong>：计算<strong>自由电子费米气体</strong>对应微观物理量<span class="arithmatex">\(x(E)\)</span>的宏观物理量<span class="arithmatex">\(X\)</span>的近似表达式：</p>
2078+
<div class="arithmatex">\[
2079+
\begin{aligned}
2080+
X&amp;=\int_0^{\infty}x(E)f(E)g(E)\mathrm dE\\
2081+
&amp;=\int_0^\infty \mathrm dE\left(\frac{\mathrm df}{\mathrm dE}\right)y(E),\quad \frac{\mathrm dy(E)}{\mathrm dE}=x(E)g(E)\\
2082+
&amp;=y(E)+\sum_{m=1}^\infty a_m(E)\frac{\mathrm d^{2m}}{\mathrm dE^{2m}}y(E)\bigg|_{E^0_F}(k_BT)^{2m}\,,a_1=\frac{\pi^2}{6}
2083+
\end{aligned}
2084+
\]</div>
2085+
<p>如内能</p>
2086+
<div class="arithmatex">\[
2087+
U=\frac{3}{5}NE_F^0+\frac{\pi^2}{6}g(E_F^0)(k_BT)^2\,,g(E_F^0)=\frac{3}{2}\frac{N}{E_F^0}
2088+
\]</div>
2089+
<p>比热容</p>
2090+
<div class="arithmatex">\[
2091+
c_V=\frac{\mathrm dU}{\mathrm dT}=\frac{\pi^2}{2}N\frac{k_B^2T}{E_F^0}
2092+
\]</div>
2093+
<p>对比经典比热容</p>
2094+
<div class="arithmatex">\[
2095+
c_V^{\text{经典}} = \frac{3}{2}Nk_B
2096+
\]</div>
2097+
<p>可见量子统计获得的比热容比经典结果小得多，源于<strong>泡利不相容</strong>原理和<strong>基态填充</strong>。</p>
2098+
<h4 id="_12">对索末菲模型的评价</h4>
2099+
<p>索末菲模型很好的解释了多个物理量的<strong>变化趋势</strong>，但是仍与实验结果有偏差，主要的偏差在于</p>
2100+
<ol>
2101+
<li>电子态密度偏大</li>
2102+
<li>比热容偏小</li>
2103+
<li>不能真正解释电子长平均自由程、电阻与温度等问题。</li>
2104+
</ol>
2105+
<table>
2106+
<thead>
2107+
<tr>
2108+
<th>物理量</th>
2109+
<th>经典力学</th>
2110+
<th>量子力学</th>
2111+
</tr>
2112+
</thead>
2113+
<tbody>
2114+
<tr>
2115+
<td>能量</td>
2116+
<td><span class="arithmatex">\(E(p)=\dfrac{p^2}{2m}\)</span></td>
2117+
<td><span class="arithmatex">\(E(k)=\dfrac{\hbar^2 k^2}{2m}\)</span></td>
2118+
</tr>
2119+
<tr>
2120+
<td>电子质量</td>
2121+
<td><span class="arithmatex">\(\dfrac{1}{m}=\dfrac{d^2E}{dp^2}\)</span></td>
2122+
<td><span class="arithmatex">\(\dfrac{1}{m}=\dfrac{1}{\hbar^2}\dfrac{d^2E}{dk^2}\)</span></td>
2123+
</tr>
2124+
<tr>
2125+
<td>电子速度</td>
2126+
<td><span class="arithmatex">\(v=\dfrac{p}{m}=\dfrac{dE}{dp}\)</span></td>
2127+
<td><span class="arithmatex">\(v=\dfrac{1}{\hbar}\dfrac{dE}{dk}\)</span></td>
2128+
</tr>
2129+
</tbody>
2130+
</table>
2131+
<div class="footnote">
2132+
<hr />
2133+
<ol>
2134+
<li id="fn:1">
2135+
<p>证明需要用到索末菲展开。参见我写的<a href="https://www.weitao-jiang.cn/blog_viewer.html?id=18">这个博客</a>。&#160;<a class="footnote-backref" href="#fnref:1" title="Jump back to footnote 1 in the text">&#8617;</a></p>
2136+
</li>
2137+
</ol>
2138+
</div>
20282139

20292140

20302141

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