8.21 ds modify

Author: EclipseYue

docs/CS/data_structure/data_structure.md

@@ -461,6 +461,62 @@ typedef struct {
     - 最小高度：$h = \lceil \log_3(100 \times 2 + 1) \rceil = \lceil \log_3(201) \rceil = 5$
     - 最大高度：$h = 100 - 3 + 1 = 98$
 
+### 5.2 二叉树
+!!! abstract "二叉树定义"
+    二叉树是一种特殊的树形结构，其特点是每个节点至多只有两棵保持左右顺序的子树。
+
+!!! warning "二叉树和度为2的有序树的区别"
+    - 度为2的树至少有3个结点，而二叉树可以为空
+    - 度为2的有序树的孩子的左右次序是相对于另一个孩子而言的，而二叉树的左右子树是相对于父节点而言的
+
+!!! info 几种特殊的二叉树
+    - **满二叉树**: 高度为h，且有 $2^h - 1$ 个结点的二叉树，层序编号后，对于编号为i的结点，其左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1，其父亲编号为i/2（向下取整）。
+    - **完全二叉树**: 高度为h，有n个结点的二叉树，当且仅当其每个结点都与满二叉树的结点一一对应时，称为完全二叉树。完全二叉树的特点是从左到右依次填充结点，最后一层可能不满。
+      - 若i <= n/2(向下取整)，则结点i为分支结点，否则为叶结点。
+      - 叶结点只可能在层次最大的两层上出现，对于最大层次的叶结点，都依次排列在该层最左边的位置上。
+      - 若有度为1的结点，则最多只可能有一个，且该节点只有左孩子而无右孩子。
+      - 按层序编号后，一旦出现某结点（编号为i）为叶结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶结点。
+      - 若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子，若n为偶数，则编号最大的分支结点(编号为n/2)只有左孩子而无右孩子。
+      - 正则二叉树：树中每个分支结点都有2个孩子，即树中只有度为0或2的结点。
+
+!!! info "二叉树的性质"
+    - **性质1**: 非空二叉树上的叶结点数等于度为2的结点数加1，即
+      $$ n_0 = n_2 + 1 $$
+      其中n₀为叶结点数，n₂为度为2的结点数。(通过入度证明)
+    - **性质2**: 非空二叉树的第k层最多有2^(k-1)个结点(k≥1)。
+    - **性质3**: 高度为h的二叉树至多有 $2^h - 1$ 个结点(h≥1)。
+    - **性质4**: 对完全二叉树按层序编号，有以下关系:
+      - 若i<=n/2(向下取整)，则结点i为分支结点，否则为叶结点，即最后一个分支结点的编号为n/2(向下取整)。
+      - 叶结点只可能在层次最大的两层上出现。
+      - 若有度为1的结点，则最多只可能有一个，且该节点只有左孩子而无右孩子。
+      - 按层序编号后，一旦出现某结点（编号为i）为叶结点或只有左孩子，则编号大于i的结点均为叶结点。
+      - 若n为奇数，则每个分支结点都有左孩子和右孩子，若n为偶数，则编号最大的分支结点(编号为n/2)只有左孩子而无右孩子。
+      - 当i > 1时，结点i的双亲结点编号为i/2（向下取整）。
+      - 若结点i有左右孩子，则左孩子编号为2i，右孩子编号为2i+1。
+      - 结点i所在层次为k，则k = log₂i(向下取整) + 1。
+    - **性质5**: 二叉树的高度h与结点数n的关系为
+      $$ h = \lceil \log_2(n + 1) \rceil $$
+      或者
+      $$ h = \lceil \log_2(n) + 1 \rceil $$
+      其中n为结点数。
+
+### 5.3 二叉树的存储结构
+!!! abstract "二叉树存储结构"
+    二叉树的存储结构主要有两种：顺序存储和链式存储。
+
+   - **顺序存储**: 采用数组存储二叉树，适用于完全二叉树。通过层序遍历将结点按顺序存入数组，空缺位置用NULL填充。优点是存取方便，缺点是浪费空间。
+   - **链式存储**: 采用链表存储二叉树，每个结点包含数据域和左右孩子指针。适用于稀疏树，优点是节省空间，缺点是存取较慢。
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+````c
+typedef struct BiTNode {
+    ElemType data;              // 数据域
+    struct BiTNode *lchild;     // 左孩子指针
+    struct BiTNode *rchild;     // 右孩子指针
+} BiTNode, *BiTree;
+````
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+
+
 ## ch6. 图
 
 !!! todo "待完善内容"