Доработка обозначений для разных бинарных операций.

Author: gsvgit

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/02_Semigroup.tex

@@ -6,6 +6,11 @@ \section{Полугруппа}
     Если операция $\circ$ является коммутативной, то говорят о \emph{коммутативной полугруппе}.
 \end{definition}
 
+Далее, при возникновении нескольких полугрупп в рамках одного обсуждения, для того чтобы различать соответствующие бинарные операции, мы будем использовать следующее обозначение.
+Пусть есть две полугруппы $\algebraic{S}_1=(S_1,\circ)$ и $\algebraic{S}_2=(S_2,\circ)$.
+Тогда $y = x \binopFrom{\algebraic{S}_1} z $ --- использование бинарной операции из полугруппы $\algebraic{S}_1$, а $b = a \binopFrom{\algebraic{S}_2} c$ --- из $\algebraic{S}_2$.
+Если из контекста ясно, откуда именно берётся операция, то данная дополнительная информация может не указываться.
+
 \begin{example}
     Приведём несколько примеров полугрупп.
     \begin{itemize}

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/03_Monoid.tex

@@ -6,6 +6,8 @@ \section{Моноид}
     Если операция является коммутативной, то можно говорить о \emph{коммутативном моноиде}.
 \end{definition}
 
+По аналогии с полугруппой, нотация $x = y \binopFrom{\algebraic{M}} z$ будет использоваться, чтобы явно указать, что операция $\binop$ взята из моноида $\algebraic{M}$.
+
 \begin{example}
     Приведём примеры моноидов, построенных на основе полугрупп из предыдущего раздела.
     \begin{itemize}
@@ -20,4 +22,3 @@ \section{Моноид}
               Нейтральный элемент~--- единичная матрица.
     \end{itemize}
 \end{example}
-

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/04_Group.tex

@@ -10,13 +10,16 @@ \section{Группа}
         \item наличие нейтрального элемента $e$: для любого $a \in G$ выполнено $e \circ a = a \circ e = a$;
         \item наличие обратного элемента: для любого $a \in G$ существует $a^{-1} \in G$, такой что $a \circ a^{-1} = a^{-1} \circ a = e$.
     \end{enumerate}
-    Иными словами, группа~--- это моноид с дополнительным требованием наличия обратных элементов.
 \end{definition}
 
+Иными словами, группа~--- это моноид с дополнительным требованием наличия обратных элементов.
+
 \begin{definition}[Абелева группа]
     Если операция $\circ$ коммутативна, то говорят, что группа \emph{абелева}.
 \end{definition}
 
+По аналогии с полугруппой, нотация $x = y \binopFrom{\algebraic{G}} z$ будет использоваться, чтобы явно указать, что операция $\binop$ взята из моноида $\algebraic{G}$.
+
 \begin{example}
     Рассмотрим несколько примеров групп.
     \begin{itemize}
@@ -36,4 +39,3 @@ \section{Группа}
               матриц с операцией матричного умножения задают группу.
     \end{itemize}
 \end{example}
-

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/05_Semiring.tex

@@ -2,7 +2,7 @@ \section{Полукольцо}
 	\tikzsetfigurename{LinearAlgebra_Semiring_}
 
 \begin{definition}[Полукольцо]
-    Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\oplus: R \times R \to R$ (часто называют сложением) и $\otimes: R \times R \to R$ (часто называют умножением) называется \emph{полукольцом}, если выполнены следующие условия.
+    Непустое множество $R$ с двумя бинарными операциями $\opAdd: R \times R \to R$ (часто называют сложением) и $\otimes: R \times R \to R$ (часто называют умножением) называется \emph{полукольцом}, если выполнены следующие условия.
     \begin{enumerate}
         \item $(R, \oplus)$~--- это коммутативный моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbzero$. Для любых $a, b, c \in R$:
               \begin{itemize}
@@ -29,6 +29,8 @@ \section{Полукольцо}
     Если операция $\oplus$ идемпотентна, то говорят об \emph{идемпотентном полукольце}.
 \end{definition}
 
+Для того, чтобы различать операции из различных полуколец, мы будем использовать уже известную нотацию: в выражении $y = x \opAddFrom{\algebraic{S}_1} z$ операция $\opAddFrom{\algebraic{S}_1}$ взята из полукольца $\algebraic{S}_1$, а в выражении $b = a \opMultFrom{\algebraic{S}_2} c$ операция $\opMultFrom{\algebraic{S}_2}$ взята из полукольца $\algebraic{S}_2$.
+
 \begin{example}
     \label{exmpl:semiring}
     Рассмотрим пример полукольца, а заодно покажем, что левая и правая дистрибутивность могут существовать независимо для некоммутативного умножения%

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/07_MatricesAndVectors.tex

@@ -179,10 +179,12 @@ \section{Матрицы и вектора}
 
 \begin{definition}[Матричное умножение]
     \label{def:MxM}
-    Пусть $G = (S, \oplus, \otimes)$~--- полукольцо, $M_{n \times m}$, $N_{m\times k}$~--- две матрицы над этим полукольцом.
+    Пусть $\algebraic{G} = (S, \oplus, \otimes)$~--- полукольцо, $M_{n \times m}$, $N_{m\times k}$~--- две матрицы над этим полукольцом.
     Тогда $M \cdot N = P_{n \times k}$, такая, что $P[i, j] = \bigoplus_{l \in [0 \rng m - 1]} M[i, l] \otimes N[l, j]$.
 \end{definition}
 
+ Для явного указания, что произведение матриц выполняется над полукольцом $\algebraic{G}$, будем использовать следующую нотацию: $M_2 = M_1 \mmult{\algebraic{G}} M_0$
+
 \begin{example}
     Пусть $G$~--- полукольцо из примера~\ref{exmpl:semiring},
     \[
@@ -216,7 +218,7 @@ \section{Матрицы и вектора}
     Пусть $G = (S, \circ)$~--- полугруппа, $M_{m \times n}$ и $N_{p \times q}$~--- две матрицы над этой полугруппой.
     Тогда \emph{произведение Кронекера} или \emph{тензорное произведение} матриц $M$ и $N$~--- это блочная матрица $K$ размера $mp \times nq$, вычисляемая следующим образом:
     \begin{multline*}
-        K = M \otimes N =
+        K = M \kron N =
         \begin{pmatrix}
             M[0,0] \circ N  & \cdots & M[0,n-1] \circ N   \\
             \vdots           & \ddots & \vdots             \\
@@ -225,14 +227,12 @@ \section{Матрицы и вектора}
     \end{multline*}
 \end{definition}
 
-%Заметим, что скалярная операция~--- это частный случай произвеления Кронекера: достаточно превратить элемент носителя полугруппы в матрицу размера $1\times 1$.
-
-\mytodo{Использоывать $\boxtimes$ для Кронекера.}
+Для явного указания, что произведение матриц выполняется над полугруппой $\algebraic{G}$, будем использовать следующую нотацию: $M_2 = M_1 \kronFrom{\algebraic{G}} M_0$
 
 \begin{remark}
     \label{rem:KronIsNotCommutative}
-    Произведение Кронекера не является коммутативным\sidenote{Показать это можно по определению: найти пример, для которого $M \otimes N \neq N \otimes M$.}.
-    При этом всегда существуют две матрицы перестановок $P$ и $Q$ такие, что $A \otimes B = P(B \otimes A)Q$.
+    Произведение Кронекера не является коммутативным\sidenote{Показать это можно по определению: найти пример, для которого $M \kron N \neq N \kron M$.}.
+    При этом всегда существуют две матрицы перестановок $P$ и $Q$ такие, что $A \kron B = P(B \kron A)Q$.
 \end{remark}
 
 \begingroup
@@ -259,12 +259,12 @@ \section{Матрицы и вектора}
     \]
     Тогда
     \begin{align*}
-        M \otimes N & =
+        M \kron N & =
         \begin{pmatrix}
             1 & 2 \\
             3 & 4
         \end{pmatrix}
-        \otimes
+        \kron
         \examplemtrx =                  \\
                     & =
         \begin{pNiceArray}[margin]{c|c}

tex/styles/math.tex

@@ -14,9 +14,25 @@
 
 \newcommand*\Opt[1]{\textit{Opt}_{#1}}
 
-\newcommand*\mmult[1]{ \oplus \! \overset{#1}{.} \! \otimes }
+\newcommand*\kron{\boxtimes}
 
-\newcommand*\kron[1]{ \boxtimes^{#1}}
+\newcommand*\kronFrom[1]{ \kron^{#1}}
+
+\newcommand*\binop{\circ}
+
+\newcommand*\binopFrom[1]{ \binop^{#1}}
+
+\newcommand*\opAdd{\oplus}
+
+\newcommand*\opAddFrom[1]{ \opAdd^{#1}}
+
+\newcommand*\opMult{\otimes}
+
+\newcommand*\opMultFrom[1]{ \opMult^{#1}}
+
+\newcommand\algebraic[1]{ \mathbb{#1}}
+
+\newcommand*\mmult[1]{ \opAdd \! \overset{#1}{.} \! \opMult }
 
 \newenvironment{scaledalign}[4]
   {