Пачка мелких правок в первых двух главах.

Author: gsvgit

AGENTS.md

@@ -17,6 +17,9 @@
 - Используем кавычки <<ёлочки>> (`<<ещё раз пример текста в кавычках>>`).
 - Для <<выделенных>> (располагаемых на отдельной строке) формул используем `\[ \]`: `\[ math formula \]`.
 - У метки`\label` всегда есть префикс, отражающий её тип. Например: `\label{fig:<fig_name>}`, `\label{sec:<section_name>}`
+- `\rng` для обозначения диапазонов. Например `$[0 \rng n-1]$` (не `$[0 \ldots n-1]$` или что-нибудь ещё).
+- `$\Bbbone$` для нейтрального по умножению
+- `$\Bbbzero$` для нейтрального по сложению
 
 ## Правила структурирования и именования файлов
 

checking_rules.md

@@ -0,0 +1,5 @@
+- Найди все опечатки
+- Проверь, что используются единообразные и согласованные обозначения
+- Проверь корректность определений
+- Проверь, что нет дублирующихся определений
+- Проверь, что перед использованием дано определение

fixit.md

@@ -0,0 +1,48 @@
+# Ошибки и замечания по главам 1 и 2
+
+## Ошибки в определениях и формулировках
+
+### 1. Определение нейтрального элемента требует коммутативности (`01_BinaryOperations.tex:136-140`)
+
+Определение гласит: *«Пусть есть **коммутативная** бинарная операция $\circ$ на множестве $S$. Говорят, что $e \in S$ является нейтральным элементом...»* Неверно: двусторонний нейтральный элемент существует и для некоммутативных операций (пример --- единичная матрица для матричного умножения). Условие коммутативности следует убрать.
+
+### 2. Некорректное объяснение в `\sidenote` группы (`04_Group.tex:29-31`)
+
+Сноска объясняет, почему $\mathbb{Z}$ без нуля с умножением --- не группа: *«Логично считать $1$ нейтральным по умножению, однако $0 \cdot 1 = 0$, а не $1$, как того требует определение»*. Неверная аргументация: для нейтрального элемента как раз требуется $0 \cdot 1 = 0$, а не $1$. Дело в том, что $0$ не имеет мультипликативного обратного, и именно это причина, почему $(\mathbb{Z} \setminus \{0\}, \cdot)$ --- не группа (кроме отсутствия обратных у всех чисел, кроме $\pm 1$).
+
+### 3. Обозначение аддитивного обратного в доказательстве кольца (`06_Ring.tex:36`)
+
+В определении кольца аддитивный обратный обозначается $-a$ (строка 13), а в доказательстве аннигилирующего свойства $\Bbbzero$ используется $a^{-1}$ (обычно --- мультипликативный обратный). Следует унифицировать: заменить $a^{-1}$ на $-a$.
+
+### 4. Определение замыкания множества использует $S_1^0$ без определения (`01_BasicDefinitions.tex:103-107`)
+
+$S_1^* = \bigcup_{n=0}^{\infty} S_1^n$, но $S_1^0$ не определено (определена только $S_1^n$ для $n > 0$, `\sidenote` подтверждает, что $n=0$ --- открытый вопрос).
+
+### 5. Замыкания отношений определены через «наименьшее по мощности» (`02_Relations.tex:21-23, 26-28`)
+
+Транзитивное и рефлексивно-транзитивное замыкания определены как «наименьшее по мощности» отношение. Стандартное определение --- «наименьшее по включению» ($\subseteq$-минимальное). Определение по мощности некорректно (может существовать несколько минимальных по мощности).
+
+---
+
+## Несогласованность обозначений
+
+### 1. Символ произвольной бинарной операции
+
+- Глава 1 (Линейная алгебра): $\circ$
+- Глава 2 (Теория множеств, «Поэлементная операция над множествами»): $\odot$
+
+Два разных символа для одного и того же концепта (произвольная бинарная операция на множестве).
+
+### 2. Умножение матриц
+
+- Глава 1 (`07_MatricesAndVectors.tex:183`): $M \cdot N$
+- Глава 2 (`02_Relations.tex:44, 83`): $M_{R_1} \times M_{R_2}$
+
+---
+
+## Использование до определения / без определения
+
+| Термин                   | Где используется              | Где определён |
+| ------------------------ | ----------------------------- | ------------- |
+| `бинарное отношение`     | ch1/01 (определение функции)  | ch2/02        |
+| `биективное отображение` | ch2/01 (индексация множества) | нигде         |

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/01_BinaryOperations.tex

@@ -45,7 +45,7 @@ \section{Бинарные операции и их свойства}
     \begin{itemize}
         \item Операция сложения на целых числах является коммутативной: известный ещё со школы перестановочный закон сложения.
         \item Операция умножения на целых числах является коммутативной: известный ещё со школы перестановочный закон умножения.
-        \item Операция конкатенации на строках\sidenote{Хотя в языках программирования традиционно строки принято <<складывать>>, использование $\cdot$ позволяет нам естественнвм образом пользоваться математической традицией опускать знак умножения в символьных записях.} $\cdot$ не является коммутативной:
+        \item Операция конкатенации на строках\sidenote{Хотя в языках программирования традиционно строки принято <<складывать>>, использование $\cdot$ позволяет нам естественным образом пользоваться математической традицией опускать знак умножения в символьных записях.} $\cdot$ не является коммутативной:
               \["ab" \cdot "c"  = "abc" \neq "cab" = "c" \cdot "ab".\]
         \item Операция умножения матриц (над целыми числами) $\cdot$ не является коммутативной:
               \[\begin{pmatrix}
@@ -114,7 +114,7 @@ \section{Бинарные операции и их свойства}
               При этом, она дистрибутивна справа относительно сложения и вычитания, но не дистрибутивна слева%
               \sidenote{
                   Здесь может быть уместно вспомнить правила сложения дробей.
-                  Дроби с общим знаминателем складывать проще как раз из-за дистрибутивности справа.}.
+                  Дроби с общим знаменателем складывать проще как раз из-за дистрибутивности справа.}.
               Так, $(a + b) / c = (a / c) + (b / c)$, но $c / (a + b) \neq (c / a) + (c / b)$.
     \end{itemize}
 \end{example}

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/04_Group.tex

@@ -18,7 +18,7 @@ \section{Группа}
     Если операция $\circ$ коммутативна, то говорят, что группа \emph{абелева}.
 \end{definition}
 
-По аналогии с полугруппой, нотация $x = y \binopFrom{\algebraic{G}} z$ будет использоваться, чтобы явно указать, что операция $\binop$ взята из моноида $\algebraic{G}$.
+По аналогии с полугруппой, нотация $x = y \binopFrom{\algebraic{G}} z$ будет использоваться, чтобы явно указать, что операция $\binop$ взята из группы $\algebraic{G}$.
 
 \begin{example}
     Рассмотрим несколько примеров групп.

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/06_Ring.tex

@@ -13,11 +13,11 @@ \section{Кольцо}
                   \item для любого $a \in R$ существует $-a \in  R$, такой что $a + (-a) = \Bbbzero$.
               \end{itemize}
               В последнем пункте кроется отличие от полукольца.
-              \item $(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- 1.
+              \item $(R, \otimes)$~--- это моноид, нейтральный элемент которого~--- $\Bbbone$.
               Для любых $a, b, c \in R$:
               \begin{itemize}
                   \item $(a \otimes b) \otimes c = a \otimes (b \otimes c)$
-                  \item $1 \otimes a = a \otimes 1 = a$
+                  \item $$\Bbbone$ \otimes a = a \otimes $\Bbbone$ = a$
               \end{itemize}
         \item $\otimes$ дистрибутивно слева и справа относительно $\oplus$:
               \begin{itemize}
@@ -27,7 +27,7 @@ \section{Кольцо}
     \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-Заметим, что мультипликативное свойство $\Bbbzero$ (быть аннигилятором по умножению) не указыватеся явно, так как может быть выведено из остальных утверждений.
+Заметим, что мультипликативное свойство $\Bbbzero$ (быть аннигилятором по умножению) не указывается явно, так как может быть выведено из остальных утверждений.
 Действительно,
 \begin{enumerate}
     \item $a \otimes \Bbbzero = a \otimes (\Bbbzero \oplus \Bbbzero)$, так как $\Bbbzero$~--- нейтральный по сложению, то $\Bbbzero \oplus \Bbbzero = \Bbbzero$
@@ -48,4 +48,3 @@ \section{Кольцо}
 \end{enumerate}
 
 %\section{Поле}
-

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/07_MatricesAndVectors.tex

@@ -3,7 +3,7 @@ \section{Матрицы и вектора}
 
 К определению матрицы мы подойдём структурно, так как в дальнейшем будем сопоставлять эту структуру с объектами различной природы, а значит определение матрицы через какой-либо из этих объектов (например через квадратичные формы) будет менее удобным.
 
-Договоримся, что \emph{алгебраическая структура}~--- это собирательное название для объектов вида \enquote{множество с набором операций} (например, кольцо, моноид, группа и т.д.), а соответствующее множество будем назвать \emph{носителем} этой структуры.
+Договоримся, что \emph{алгебраическая структура}~--- это собирательное название для объектов вида \enquote{множество с набором операций} (например, кольцо, моноид, группа и т.д.), а соответствующее множество будем называть \emph{носителем} этой структуры.
 
 \begin{definition}[Матрица]
     Предположим, что у нас есть некоторая алгебраическая структура с носителем $S$. Тогда \emph{матрицей} будем называть прямоугольный массив размера $n \times m$, $n > 0$, $m > 0$, заполненный элементами из $S$.
@@ -56,7 +56,7 @@ \section{Матрицы и вектора}
         \begin{pmatrix}
             "a"  & "ac"  \\
             "ba" & "bab" \\
-            "cd" & "b"
+            "cb" & "b"
         \end{pmatrix}
     \]
 \end{example}
@@ -245,7 +245,7 @@ \section{Матрицы и вектора}
     \end{pmatrix}
 }
 
-\mytodo{Попробовать ужать прмиер на предыдущую страницу.}
+\mytodo{Попробовать ужать пример на предыдущую страницу.}
 \begin{example}
     Возьмём в качестве полугруппы целые числа с умножением.
     \[

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/main.tex

@@ -4,10 +4,10 @@ \chapter{Некоторые понятия линейной алгебры}
 \tikzsetfigurename{LinearAlgebraIntro_}
 
 При изложении ряда алгоритмов будут активно использоваться некоторые понятия и инструменты линейной алгебры, такие как моноид, полукольцо или матрица.
-В данном разделе необходимые из них будут введены, определены и будут приведены некоторые примеры соответствующих конструкций.
-Для более глубокого изучения материала рекомендуются обратиться к соответствующим разделам алгебры.
+В данной главе необходимые из них будут введены, определены и будут приведены некоторые примеры соответствующих конструкций.
+Для более глубокого изучения материала рекомендуется обратиться к соответствующим разделам алгебры.
 \marginnote[*6]{
-    Неообходимо понимать, что, с одной строны, в данном разделе рассматриваются самые базовые понятия, которые даются практически в любом учебнике алгебры.
+    Необходимо понимать, что, с одной стороны, в данном разделе рассматриваются самые базовые понятия, которые даются практически в любом учебнике алгебры.
     С другой же стороны, определения данных понятий оказываются весьма вариативными и часто вызывают дискуссии.
     Например, интересный анализ тонкостей определения группы можно найти в первом и втором параграфах первого раздела книги Николая Александровича Вавилова \enquote{Конкретная теория групп}~\cite{VavilovGroups}.
     Мы же дадим определения, удобные для дальнейшего изложения материала.

tex/part_01_Prep/chapter_02_SetTheory/01_BasicDefinitions.tex

@@ -13,7 +13,7 @@ \section{Основные определения}
 \begin{definition}[Индексация множества]
     \label{def:SetIndexing}
     Пусть дано множество $M$, такое что $|M| = n$.
-    Будем говорить, что множество $M$ \emph{проиндексировано} если задано биективное отображение $g$ между отрезком натурального ряда $[0 \ldots n-1]$ и $M$.
+    Будем говорить, что множество $M$ \emph{проиндексировано} если задано биективное отображение $g$ между отрезком натурального ряда $[0 \rng n-1]$ и $M$.
     Если $g(i) = m$, то $i$ будем называть \emph{индексом} или \emph{номером} $m$.
     Будем считать, что записи  $g(i)$ и $M[i]$ эквивалентны в том смысле, что обозначают элемент множества $M$ с индексом $i$.
 \end{definition}
@@ -96,7 +96,7 @@ \section{Основные определения}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Степень множества]
-    Пусть дано множество $S$ с определённой на нём операцией $\odot: S \times S \to S$, $S_1 \subseteq S$, тогда\sidenote{Интересным вопросом для размышления является то, как необходимо определить нулевую степень, чтоыб результат давал единицу, как мы и привыкли.}
+    Пусть дано множество $S$ с определённой на нём операцией $\odot: S \times S \to S$, $S_1 \subseteq S$, тогда\sidenote{Интересным вопросом для размышления является то, как необходимо определить нулевую степень, чтобы результат давал единицу, как мы и привыкли.}
     \[S_1^n = \{ \underbrace{s_1 \odot s_1 \odot \dots \odot s_1}_{\text{$n$ раз}} \mid s_1 \in S_1\}.\]
 \end{definition}
 
@@ -105,5 +105,3 @@ \section{Основные определения}
     Пусть дано множество $S$ с определённой на нём операцией $\odot: S \times S \to S$, $S_1 \subseteq S$, тогда
     \[S_1^* = \bigcup_{n = 0}^{\infty} S_1^n.\]
 \end{definition}
-
-

tex/part_01_Prep/chapter_02_SetTheory/02_Relations.tex

@@ -36,7 +36,7 @@ \section{Отношения}
 
 Пусть есть бинарное отношение $R \subseteq A \times B$, где $A$ и $B$~--- конечные множества.
 Дополнительно будем считать, что оба этих множества проиндексированы.
-Тогда $R$ можно задать с помощью булевой матрицы $M_R$ размера $|A|\times|B|$ следующим образом: $M[i,j] = 1 \iff (A[i],B[j] \in R)$.
+Тогда $R$ можно задать с помощью булевой матрицы $M_R$ размера $|A|\times|B|$ следующим образом: $M[i,j] = 1 \iff (A[i],B[j]) \in R$.
 
 \begin{theorem}
     Пусть $R_1 \subseteq A \times B$, $R_2 \subseteq B \times C$~--- бинарные отношения, а множества $A$, $B$ и $C$ конечны.