Частичная рестурктуризация разделов. Не закончено.

Author: gsvgit

book_structure.md

@@ -42,17 +42,13 @@
 
 ### Глава 3. Некоторые сведения из теории графов — `GraphTheoryIntro.tex` — ⚠️
 
-- ⚠️ Раздел "Основные определения"
-  - Задачи
-    - Обобщённая матрица смежности
-    - Добавить булевы декомпозицию
+- ✅ Раздел "Основные определения"
 - ⚠️ Раздел "Задачи поиска путей"
 - ⚠️ Раздел "Анализ путей в графе и линейная алгебра"
   - Планируемое содержание раздела: общие сведения об Algebraic Path Problems, примеры (транзитивное замыкание, APSP)
 - ⚠️ Раздел "Обход графа в ширину"
 - Задачи
-  - В разделе "Задачи поиска путей" оставить только обсуждение различных постановок задач
-  - Перестроить раздел "Анализ путей в графе и линейная алгебра".
+   - Перестроить раздел "Анализ путей в графе и линейная алгебра".
 
 ## Часть 2. Подготовка — ⚠️
 

tex/part_01_Prep/chapter_03_GraphTheoryIntro/02_PathProblems.tex

@@ -35,32 +35,5 @@ \section{Задачи поиска путей}
 В итоге, перебирая возможные варианты желаемого результата и способы фиксации стартовых и финальных вершин, мы можем сформулировать достаточно большое количество задач.
 Например, задачу поиска всех путей между двумя заданными вершинами, задачу поиска одного пути от фиксированной стартовой вершины до каждой вершины в графе, или задачу достижимости между всеми парами вершин.
 
-Часто поиск путей сопровождается изучением их свойств, что далее приводит к формулированию дополнительных ограничений на пути в терминах этих свойств.
-Например, можно потребовать, чтобы пути были простыми или не проходили через определённые вершины.
-Один из естественных способов описывать свойства и, как следствие, задавать ограничения~--- это использовать ту алгебраическую структуру, из которой берутся веса рёбер графа%
-\sidenote{На самом деле здесь наблюдается некоторая двойственность.
-    С одной стороны, действительно, удобно считать, что свойства описываются в терминах некоторой заданной алгебраической структуры.
-    Но, вместе с этим, структура подбирается исходя из решаемой задачи.}.
-
-Предположим, что дан граф $\mbfscrG = \langle V, E, L\rangle $, где $L = (S, \oplus, \otimes)$~--- это полукольцо.
-Тогда изучение свойств путей можно описать следующим образом:
-\begin{equation}
-    \label{eq:algPathProblem}
-    \left\{\ (v_i, v_j, c) \mid c = \bigoplus_{v_i \pi_k v_j} \bigotimes_{(u, l, v) \in \pi } l \ \right\}.
-\end{equation}
-
-Иными словами, для каждой пары вершин, для которой существует хотя бы один путь, их соединяющий, мы агрегируем (с помощью операции $\oplus$ из полукольца) информацию обо всех путях между этими вершинами.
-При этом информация о пути получается как свёртка меток рёбер пути с использованием операции $\otimes$\sidenote{Заметим, что детали свёртки вдоль пути зависят от свойств полукольца (и от решаемой задачи).
-    Так, если полукольцо коммутативно, то нам не обязательно соблюдать порядок рёбер.
-    В дальнейшем мы увидим, что данные особенности полукольца существенно влияют на особенности алгоритмов решения соответствующих задач.}.
-
-Естественным требованием (хотя бы для прикладных задач, решаемых таким способом) является существование и конечность указанной суммы.
-На данном этапе мы не будем касаться того, какие именно свойства полукольца могут нам обеспечить данное свойство, однако в дальнейшем будем считать, что оно выполняется.
-Более того, будем стараться приводить частные для конкретной задачи рассуждения, показывающие, почему это свойство выполняется в рассматриваемых в задаче ограничениях.
-
-Описанная выше задача общего вида называется анализом свойств путей алгебраическими методами (Algebraic Path Problem)~\sidecite{Baras2010PathPI} и предоставляет общий способ для решения широкого класса прикладных задач%
-\sidenote{В работе \enquote{Path Problems in Networks}~\cite{Baras2010PathPI} собран действительно большой список прикладных задач с описанием соответствующих полуколец.
-    Сводная таблица на страницах 58--59 содержит 29 различных прикладных задач и соответствующих полуколец.}.
-Наиболее известными являются такие задачи, как построение транзитивного замыкания графа и поиск кратчайших путей (All Pairs Shortest Path или APSP).
-Далее мы подробнее обсудим эти две задачи и предложим алгоритмы их решения.
-
+В дальнейшем мы будем рассматривать различные
+\mytodo{Внятно закончить раздел}

tex/part_01_Prep/chapter_03_GraphTheoryIntro/03_PathAlgebra.tex

@@ -1,5 +1,35 @@
 \section{Анализ путей в графе и линейная алгебра}
 
+Часто поиск путей сопровождается изучением их свойств, что далее приводит к формулированию дополнительных ограничений на пути в терминах этих свойств.
+Например, можно потребовать, чтобы пути были простыми или не проходили через определённые вершины.
+Один из естественных способов описывать свойства и, как следствие, задавать ограничения~--- это использовать ту алгебраическую структуру, из которой берутся веса рёбер графа%
+\sidenote{На самом деле здесь наблюдается некоторая двойственность.
+    С одной стороны, действительно, удобно считать, что свойства описываются в терминах некоторой заданной алгебраической структуры.
+    Но, вместе с этим, структура подбирается исходя из решаемой задачи.}.
+
+Предположим, что дан граф $\mbfscrG = \langle V, E, L\rangle $, где $L = (S, \oplus, \otimes)$~--- это полукольцо.
+Тогда изучение свойств путей можно описать следующим образом:
+\begin{equation}
+    \label{eq:algPathProblem}
+    \left\{\ (v_i, v_j, c) \mid c = \bigoplus_{v_i \pi_k v_j} \bigotimes_{(u, l, v) \in \pi } l \ \right\}.
+\end{equation}
+
+Иными словами, для каждой пары вершин, для которой существует хотя бы один путь, их соединяющий, мы агрегируем (с помощью операции $\oplus$ из полукольца) информацию обо всех путях между этими вершинами.
+При этом информация о пути получается как свёртка меток рёбер пути с использованием операции $\otimes$\sidenote{Заметим, что детали свёртки вдоль пути зависят от свойств полукольца (и от решаемой задачи).
+    Так, если полукольцо коммутативно, то нам не обязательно соблюдать порядок рёбер.
+    В дальнейшем мы увидим, что данные особенности полукольца существенно влияют на особенности алгоритмов решения соответствующих задач.}.
+
+Естественным требованием (хотя бы для прикладных задач, решаемых таким способом) является существование и конечность указанной суммы.
+На данном этапе мы не будем касаться того, какие именно свойства полукольца могут нам обеспечить данное свойство, однако в дальнейшем будем считать, что оно выполняется.
+Более того, будем стараться приводить частные для конкретной задачи рассуждения, показывающие, почему это свойство выполняется в рассматриваемых в задаче ограничениях.
+
+Описанная выше задача общего вида называется анализом свойств путей алгебраическими методами (Algebraic Path Problem)~\sidecite{Baras2010PathPI} и предоставляет общий способ для решения широкого класса прикладных задач%
+\sidenote{В работе \enquote{Path Problems in Networks}~\cite{Baras2010PathPI} собран действительно большой список прикладных задач с описанием соответствующих полуколец.
+    Сводная таблица на страницах 58--59 содержит 29 различных прикладных задач и соответствующих полуколец.}.
+Наиболее известными являются такие задачи, как построение транзитивного замыкания графа и поиск кратчайших путей (All Pairs Shortest Path или APSP).
+Далее мы подробнее обсудим эти две задачи и предложим алгоритмы их решения.
+
+
  В данной главе мы рассмотрим некоторые связи%
  \sidenote{Связь между графами и линейной алгеброй~--- обширная область, в которой можно даже выделить отдельные направления, такие как спектральная теория графов.
      С точки зрения практики данная связь также подмечена давно и более полно с ней можно ознакомиться, например, в работах~\cite{doi:10.1137/1.9780898719918, Davis2018Algorithm9S}.