Нормальная форма для MCFG перенесена в раздел про MVFG из раздела про допстижимость с огранияениями в виде MCFG.

gsvgit · gsvgit · commit 735ff842262a · 2026-05-26T17:43:46.000+03:00
diff --git a/tex/Multiple_Context-Free_Language_Reachability.tex b/tex/Multiple_Context-Free_Language_Reachability.tex
@@ -14,57 +14,6 @@ \chapter{Поиск путей с ограничениями в терминах
 На практике хорошим приёмом для получения высокопроизводительных решений задач анализа графов является выражение наиболее критичных вычислений через операции линейной алгебры, например, через матричные операции~\cite{doi:10.1137/1.9780898719918}. Существуют эффективные алгоритмы парсинга для MCFL на основе линейной алгебры, использующие умножения булевых матриц~\cite{nakanishi1997efficient,cohen2016parsing} и способные лечь в основу новых алгоритмов MCFL-достижимости. Однако алгоритм в работе~\cite{cohen2016parsing} может быть применен только для некоторого подкласса многокомпонентных контекстно-свободных грамматик, называемого \textit{несбалансированными}. Поэтому далее в этой главе будет приведён алгоритм поиска путей с ограничениями в терминах многокомпонентных контекстно-свободных языков, основанный на алгоритме из работы~\cite{nakanishi1997efficient}.
 
 
-\section{Нормальная форма MCFG}\label{normalformmcfg}
-Сперва мы введём следующую нормальную форму для MCFG, которая позволяет решать задачу MCFL-достижимости с помощью операций линейной алгебры.
-
-\begin{definition} m-MCFG $G = (\Sigma, N, S, P)$ находится в \emph{нормальной форме}, если любое правило $p: A \rightarrow (\gamma_1, \dots, \gamma_{dim(A)}) \in P$ соответствует одной из следующих форм.
-	\begin{itemize}
-		%\item $\forall i: 1 \leq i \leq d(A) \ \ \gamma_i \neq \varepsilon$
-		\item $\forall i: |\gamma_i| = 1$ и $\gamma_i \in \Sigma \cup \{\varepsilon\}$.
-		\item $\forall i: \gamma_i \in N_c^*$, т.е. в правой части правила нету терминальных символов. Для простоты будем обозначать такие правила $p: A \rightarrow f(B_1, \dots, B_n)$, где $B_k \in N$. В таком случае необходимо, чтобы $n = 2$. В итоге, имеем правила вида $p: A \rightarrow f(B_1, B_2)$, где $B_1, B_2 \in N$. Для таких правил также должно выполнятся следующее.
-		\begin{itemize}
-			\item \textbf{Non-erasing condition}:$\forall i \in \{1,2\}, 1 \leq j \leq d(B_i)$ $B_i^j$ используется в $\gamma_k$ для некоторого $k$,
-			\item никакая пара символов $B^j, B^k$, являющихся компонентами одного и того нетерминала, не присутствует в правой части правила подряд, т.е. компоненты нетерминалов $B_1, B_2$ чередуются,
-			\item $\exists i: 1 \leq i \leq d(A) \ \ |\gamma_i| \geq 2$.
-		\end{itemize}
-	\end{itemize}
-\end{definition}
-
-Согласно~\cite{nakanishi1997efficient}, справедлива следующая теорема.
-
-\begin{theorem}\label{thm:formofmcfg}
-	Для любой MCFG $G$ может быть построена MCFG $G'$ такая, что $L(G') = L(G)$ и $G'$ находится в описанной нормальной форме.
-\end{theorem}
-
-Например, для $m = 1$ описанная нормальная форма соответствует ослабленной нормальной форме Хомского для КС-грамматик.
-
-Пусть имеется MCFG $G_1 = (\Sigma_1, N_1, S, P_1)$, где $\Sigma_1 = \{a,b,c,d\}$, $N_1 = \{S_, A, B\}$, $P_1 = \{$
-\begin{align*}
-	S^1 \rightarrow A^1 B^1 A^2 B^2 \\
-	(A^1, A^2) \rightarrow (a,c) \\
-	(B^1, B^2) \rightarrow (b,d) \\
-	(B^1, B^2) \rightarrow (bB^1, dB^2) \\
-	(A^1, A^2) \rightarrow (aA^1, cA^2)
-\end{align*}
-$\}.$
-
-Такая грамматика порождает один из классических MCFL: $L(G_1) = \{a^nb^mc^nd^m \mid n,m \in \mathbb{N}\}$, который не является контекстно-свободным.
-
-Тогда грамматика $G'_1$ в нормальной форме может быть построена по грамматике $G_1$, где $L(G'_1) = L(G_1)$ и $N'_1 = \{S, S_1, S_2, A, B, C, D\}$, $P'_1 = \{$
-\begin{align*}
-	A^1 \rightarrow a \\
-	B^1 \rightarrow b \\
-	C^1 \rightarrow c \\
-	D^1 \rightarrow d \\
-	(S_1^1, S_1^2) \rightarrow (a,c) \\
-	(S_2^1, S_2^2) \rightarrow (b,d) \\
-	(S_1^1, S_1^2) \rightarrow (S_3^1, S_3^2 C^1) \\
-	(S_3^1, S_3^2) \rightarrow (A^1 S_1^1, S_1^2) \\
-	(S_2^1, S_2^2) \rightarrow (S_4^1, S_4^2 D^1) \\
-	(S_4^1, S_4^2) \rightarrow (B^1 S_2^1, S_2^2) \\
-	S^1 \rightarrow S_1^1 S_2^1 S_1^2 S_2^2
-\end{align*}
-$\}.$
 
 \section{Постановка задачи}
 Сформулируем задачу MCFL-достижимости.
@@ -266,7 +215,7 @@ \subsection{Алгоритм}
 
 \subsection{Пример}
 
-Рассмотрим некоторые шаги алгоритма на примере. В качестве входных данных возьмем граф $D_1$, представленный на рисунке~\ref{fig:example_input_graph_mcfg}, и многокомпонентную контекстно-свободную грамматику $G'_1$ из раздела~\ref{normalformmcfg}.
+Рассмотрим некоторые шаги алгоритма на примере. В качестве входных данных возьмем граф $D_1$, представленный на рисунке~\ref{fig:example_input_graph_mcfg}, и многокомпонентную контекстно-свободную грамматику $G'_1$ из определения~\ref{thm:mcfg_normal_form} главы~\ref{MCFG}.
 
 \begin{figure}[h]
 	\centering
@@ -398,4 +347,4 @@ \subsection{Корректность и сложность}
 	Пусть дана m-MCFG $G = (\Sigma, N, S, P)$ в нормальной форме и помеченный граф $D =(V, E, \Sigma)$. Пусть $p'$ --- правило грамматики, для которого $e(p') - 0.624i(p') = max\{e(p) - 0.624i(p) \mid p\in P\}$, и пусть $e' = e(p')$, $i' = i(p')$. Тогда алгоритм, представленный на листинге~\ref{lst:algomcfg}, завершит работу за $O(|V|^{e' - 0.624i' + 2m})$.
 \end{theorem}
 
-Это первое наивное ограничение временной сложности для проблемы MCFL-достижимости. Например, для грамматики $G'_1$ из раздела~\ref{normalformmcfg}, $e' = 5$, $i' = 1$, а $m = 2$. Таким образом, граница временной сложности для этой грамматики составляет $O(|V|^{8,376})$. Однако $O(n^{2m})$ итераций может быть достигнуто только на специальных искусственных графах, а обычно на реальных графах количество итераций невелико. Кроме того, известны приёмы улучшения такой оценки сложности путём рекурсивного умножения подматриц~\cite{Valiant:1975:GCR:1739932.1740048}. Наконец, оценка сложности может быть улучшеноа за счёт учёта разреженности матриц и исползования операций над разреженными матрицами.
+Это первое наивное ограничение временной сложности для проблемы MCFL-достижимости. Например, для грамматики $G'_1$ из определения~\ref{thm:mcfg_normal_form} главы~\ref{MCFG}, $e' = 5$, $i' = 1$, а $m = 2$. Таким образом, граница временной сложности для этой грамматики составляет $O(|V|^{8,376})$. Однако $O(n^{2m})$ итераций может быть достигнуто только на специальных искусственных графах, а обычно на реальных графах количество итераций невелико. Кроме того, известны приёмы улучшения такой оценки сложности путём рекурсивного умножения подматриц~\cite{Valiant:1975:GCR:1739932.1740048}. Наконец, оценка сложности может быть улучшеноа за счёт учёта разреженности матриц и исползования операций над разреженными матрицами.
diff --git a/tex/Multiple_Context-Free_Languages.tex b/tex/Multiple_Context-Free_Languages.tex
@@ -68,17 +68,17 @@ \section{Примеры}
 
 Теперь рассмотрим язык, не являющийся контекстно-свободным:
 \[
-L = \{a^n c^m b^n d^m \mid n, m \ge 0\}.
+L = \{a^n b^m c^n d^m \mid n, m \ge 0\}.
 \]
 Этот язык порождается следующей $2$-MCFG($2$):
 \begin{align*}
-    S(x_1 y_1 x_2 y_2) &\leftarrow P(x_1,x_2), Q(y_1,y_2) \\
-    P(ax_1, bx_2) &\leftarrow P(x_1,x_2) \\
+    S(x_1 x_2 x_3 x_4) &\leftarrow P(x_1,x_3), Q(x_2,x_4) \\
+    P(ax_1, cx_2) &\leftarrow P(x_1,x_2) \\
     P(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow \\
-    Q(cx_1, dx_2) &\leftarrow Q(x_1,x_2) \\
+    Q(bx_1, dx_2) &\leftarrow Q(x_1,x_2) \\
     Q(\varepsilon,\varepsilon) &\leftarrow
 \end{align*}
-Здесь нетерминал $P$ порождает пары $(a^n, b^n)$, нетерминал $Q$~--- пары $(c^m, d^m)$, а стартовое правило собирает их в нужном порядке.
+Здесь нетерминал $P$ порождает пары $(a^n, c^n)$, нетерминал $Q$~--- пары $(b^m, d^m)$, а стартовое правило собирает их в нужном порядке.
 
 \section{Разновидности MCFG}
 
@@ -117,6 +117,70 @@ \section{Разновидности MCFG}
 \]
 В частности, язык $\{a^{2^n} \mid n \ge 0\}$ порождается PMCFG (правила $S(xx) \leftarrow S(x)$, $S(a) \leftarrow$), но не является MCFL.
 
+Помимо классификации по ограничениям на использование переменных, для MCFG
+существует нормальная форма, обобщающая ослабленную нормальную форму
+Хомского для контекстно-свободных грамматик~\sidecite{nakanishi1997efficient}.
+
+\begin{definition}
+    MCFG $G = (\Sigma, N, S, P)$ находится в \emph{нормальной форме},
+    если любое правило $A(s_1,\ldots,s_k) \leftarrow B_1(\bar x_1),\ldots,B_n(\bar x_n)$
+    удовлетворяет одному из следующих условий:
+    \begin{itemize}
+        \item $n = 0$ и каждый $s_i$ есть либо $\varepsilon$, либо символ из $\Sigma$:
+              $A(a_1,\ldots,a_k) \leftarrow$ или $A(\varepsilon,\ldots,\varepsilon) \leftarrow$,
+              где $a_i \in \Sigma$.
+        \item $n = 2$, в строках $s_i$ нет терминальных символов,
+              и выполнены следующие условия:
+              \begin{itemize}
+                  \item \textbf{неудаляющее условие}: каждая переменная $x^i_j$
+                        хотя бы один раз используется в $s_1,\ldots,s_k$;
+                  \item компоненты $B_1$ и $B_2$ \emph{чередуются}: в каждой строке $s_i$
+                        никакие две компоненты одного нетерминала не расположены подряд;
+                  \item хотя бы одна строка $s_i$ имеет длину $|s_i| \ge 2$.
+              \end{itemize}
+    \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}\label{thm:mcfg_normal_form}
+    Для любой MCFG $G$ может быть построена эквивалентная MCFG $G'$,
+    находящаяся в описанной нормальной форме~\sidecite{nakanishi1997efficient}.
+\end{theorem}
+
+Для $m = 1$ эта нормальная форма соответствует ослабленной нормальной форме
+Хомского для КС-грамматик (определение~\ref{defn:wCNF}).
+
+\begin{example}
+    Приведём к нормальной форме грамматику для языка
+    $\{a^n b^m c^n d^m \mid n,m \in \mathbb{N}\}$.
+    Исходная грамматика $G_1$:\begin{align*}
+        A(a, c)         &\leftarrow \\
+        A(a x_1, c x_2) &\leftarrow A(x_1, x_2) \\
+        B(b, d)         &\leftarrow \\
+        B(b x_1, d x_2) &\leftarrow B(x_1, x_2) \\
+        S(x_1 x_2 x_3 x_4) &\leftarrow A(x_1, x_3), B(x_2, x_4)
+    \end{align*}
+    
+    Эквивалентная грамматика $G'_1$ в нормальной форме использует
+    вспомогательные нетерминалы $A_1,B_1,C_1,D_1$ ранга~1 и
+    $S_1,S_2,S_3,S_4$ ранга~2:\begin{align*}
+        A_1(x)              &\leftarrow a \\
+        B_1(x)              &\leftarrow b \\
+        C_1(x)              &\leftarrow c \\
+        D_1(x)              &\leftarrow d \\[4pt]
+        S_1(a, c)           &\leftarrow \\
+        S_3(x_1 y_1, y_2)   &\leftarrow A_1(x_1), S_1(y_1, y_2) \\
+        S_1(x_1, x_2 y_1)   &\leftarrow S_3(x_1, x_2), C_1(y_1) \\[4pt]
+        S_2(b, d)           &\leftarrow \\
+        S_4(x_1 y_1, y_2)   &\leftarrow B_1(x_1), S_2(y_1, y_2) \\
+        S_2(x_1, x_2 y_1)   &\leftarrow S_4(x_1, x_2), D_1(y_1) \\[4pt]
+        S(x_1 x_2 x_3 x_4) &\leftarrow S_1(x_1, x_3), S_2(x_2, x_4)
+    \end{align*}
+    Здесь $S_1$ и $S_2$ порождают терминальные пары $(a,c)$ и $(b,d)$,
+    а рекурсивные правила $S_1/S_3$ и $S_2/S_4$ добавляют по одному символу
+    в каждый компонент за два шага, сохраняя условие чередования и отсутствие
+    терминалов в нетерминальных правилах.
+\end{example}
+
 \section{Лемма о накачке}
 
 Для MCFG известно несколько вариантов леммы о накачке, различающихся по своей силе и применимости к различным подклассам.
