В теории графов добавлена булева декомпозиция и фраза про индексированное множество для вершин.

Author: gsvgit

tex/part_01_Prep/chapter_02_SetTheory/01_BasicDefinitions.tex

@@ -10,6 +10,7 @@ \section{Основные определения}
 \end{definition}
 
 \begin{definition}[Индексация множества]
+    \label{def:SetIndexing}
     Пусть дано множество $M$, такое что $|M| = n$.
     Будем говорить, что множество $M$ \emph{проиндексировано} если задано биективное отображение $g$ между отрезком натурального ряда $[0 \ldots n-1]$ и $M$.
     Если $g(i) = m$, то $i$ будем называть \emph{индексом} или \emph{номером} $m$.

tex/part_01_Prep/chapter_03_GraphTheoryIntro/01_BasicDefinitions.tex

@@ -35,8 +35,7 @@ \section{Основные определения}
 В дальнейшем речь будет идти о конечных ориентированных помеченных графах.
 Мы будем использовать термин \emph{граф} подразумевая именно конечный ориентированный помеченный граф, если только не оговорено противное.
 
-Также мы будем считать, что все вершины занумерованы подряд с нуля.
-То есть можно считать, что $V$~--- это отрезок $[0 \rng |V| - 1]$, где $|V|$~--- мощность множества $V$.
+Также мы будем считать, что множество вершин $V$ проиндексировано\sidenote{Более того, часто мы будем считать, что множество врешин~--- это просто отрезок $[0 \rng |V|-1]$} (см. определение~\ref{def:SetIndexing}).
 
 \begin{definition}[Путь]
     \label{def:path}
@@ -127,6 +126,7 @@ \section{Основные определения}
     \label{gr:graph3}
 \end{marginfigure}
 \begin{example}[Пример матрицы смежности помеченного графа]
+    \label{exmpl:matrix_for_labelled_graph}
     Пусть дан помеченный граф (см. рисунок \ref{gr:graph3}).
     В данном случае $L = \{a,b\}$.
     Так как мы не будем в данном примере запрещать параллельные рёбра, то ячейки матрицы будут содержать множества меток: метки для всех параллельных рёбер между парой вершин.
@@ -190,28 +190,76 @@ \section{Основные определения}
 
 Во-вторых, матрица смежности редко нужна <<сама по себе>>.
 Как правило, над ней необходимо выполнять какие-либо операции в рамках решения какой-то задачи.
-Более того, часто операции над элементами матрицы нужны просто для того, чтобы аккуратно определить, как именно сохраняется информация о метках параллельных рёбер.
+Более того, часто операции над элементами матрицы нужны просто для того, чтобы аккуратно определить, как именно сохраняется информация о метках параллельных рёбер\sidenote{В примере~\ref{exmpl:matrix_for_labelled_graph} мы решили эту проблему используя множества, но это не всегда уместно.}.
 Дабы обеспечить эту возможность, мы будем либо сразу говорить, что матрица определена над какой-либо алгебраической структурой\sidenote{
     Конкретный тип структуры будет зависеть от решаемой задачи. Где-то хватит моноида, где-то потребуется полукольцо, а где-то ещё более сложная структура.
 }, использующей в качестве носителя $\Opt{L}$, либо определять соответствующую структуру отдельно\sidenote{
     Такой подход может быть удобен с точки рения разделения данных и операций над ними.
     В частности, мы можем опеределить несколько структур с одинаковым носителем и разными операциями.
 }.
 
-Нам будет удобно пользоваться первым вариантом, так как он позволяет естественным образом получить представление для параллельных рёбер.
-В итоге мы получим следующее определение.
+Для определения обобщённой матрицы смежности нам будет удобно пользоваться первым вариантом, так как он позволяет естественным образом получить представление для параллельных рёбер\sidenote{Хотя при решении прикладных задач чаще используется второй, так как во многих языках программирования удобнее разделить стуктуру данных и функции работы с ней.}.
 
 \begin{definition}[Матрица смежности]
-    \emph{Матрица смежности} графа $\mbfscrG = \langle V, E, L \rangle$~--- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$, построенная над коммутативным моноидом $\BbbG = (\Opt{L}, \circ)$.
+    \emph{Матрица смежности} графа $\mbfscrG = \langle V, E, L \rangle$~--- это квадратная матрица $M$ размера $n \times n$, где $|V| = n$, построенная над коммутативным\sidenote{Коммутативность нам нужна для того, чтобы при построении матрицы не думать, в каком порядке добавлять параллельные рёбра.} моноидом $\BbbG = (\Opt{L}, \circ)$.
     При этом \[M[i,j] = \underset{{(i, l, j) \in E}}{\bigcirc} l\], где $\underset{\varnothing}{\bigcirc} = \Bbbzero$ и $\Bbbzero$~--- нейтральный элемент относительно $\circ$.
 \end{definition}
 
 Заметим, что наше определение матрицы смежности требует некоторой аккуратности при соотнесении с ним данных выше примеров.
 Во-первых, в нашем определении присутствует моноид, который в примерах не фигурировал вовсе.
-Во-вторых, выбор специального значения и способ представления информации о параллельных рёбрах в примерах выбирался исходя из некоторой интуитивной <<естественности>>, но в реальности нам необходимо аккуратно согласовывать даный выбор с решаемой задачей и соответствующими алгебраическими структурами.
+Во-вторых, выбор специального значения и способ представления информации о параллельных рёбрах в примерах выбирался исходя из некоторой интуитивной <<естественности>>, но в реальности нам необходимо аккуратно согласовывать данный выбор с решаемой задачей и соответствующими алгебраическими структурами.
 Таким образом, свойства структуры $\BbbG$, а значит и детали её построения, зависят от задачи, в рамках которой рассматривается граф.
 А значит, и матрица смежности конструируется исходя из задачи.
 
+В ряде случаев граф удобно представлять не одной матрицей смежности, а набором матриц.
+Рассмотрим частный случай, в котором матрица смежности строится над моноидом $\BbbG = (\mathcal{P}(L), \cup)$, где $\mathcal{P}(L)$~--- множество всех подмножеств $L$, операция $\cup$~--- объединение множеств, а $\Bbbzero = \varnothing$.
+Иными словами, ячейка $M[i,j]$ содержит множество всех меток рёбер, соединяющих вершину $i$ с вершиной $j$.
+Именно такую матрицу мы построили в примере~\ref{exmpl:matrix_for_labelled_graph}.
+
+Далее, для каждого элемента $l \in L$ можно построить отдельную булеву матрицу, несущую информацию о том, существует ли в графе ребро с меткой $l$.
+
+\begin{definition}[Булева декомпозиция матрицы смежности]
+    \label{def:BoolDecomposition}
+    \emph{Булевой декомпозицией} матрицы смежности $M$ графа $\mbfscrG = \langle V, E, L \rangle$ (построенной над $\mathcal{P}(L)$) называется семейство булевых матриц $\mathcal{M} = \{M_l \mid l \in L \}$, где каждая $M_l$ размера $|V| \times |V|$ определена как
+    \[ M_l[i,j] = \begin{cases}
+        1, & \text{если } l \in M[i,j] \\
+        0, & \text{иначе}.
+    \end{cases} \]
+\end{definition}
+
+Иными словами, $M_l[i,j] = 1$ тогда и только тогда, когда в исходном графе существует ребро $(i,l,j)$.
+
+\begin{example}[Булева декомпозиция для матрицы из примера~\ref{exmpl:matrix_for_labelled_graph}]
+    \label{exmpl:bool_decomposition}
+    Напомним матрицу смежности $M$ из примера~\ref{exmpl:matrix_for_labelled_graph}:
+    \[
+        \begin{pmatrix}
+            \varnothing & \{a\}       & \varnothing & \varnothing \\
+            \varnothing & \varnothing & \{a\}       & \varnothing \\
+            \{a\}       & \varnothing & \varnothing & \{a,b\}     \\
+            \varnothing & \varnothing & \{b\}       & \varnothing
+        \end{pmatrix}.
+    \]
+
+    Так как $L = \{a, b\}$, булева декомпозиция состоит из двух матриц~--- $M_a$ и $M_b$:
+    \[
+        M_a = \begin{pmatrix}
+            0 & 1 & 0 & 0 \\
+            0 & 0 & 1 & 0 \\
+            1 & 0 & 0 & 1 \\
+            0 & 0 & 0 & 0
+        \end{pmatrix},
+        \quad
+        M_b = \begin{pmatrix}
+            0 & 0 & 0 & 0 \\
+            0 & 0 & 0 & 0 \\
+            0 & 0 & 0 & 1 \\
+            0 & 0 & 1 & 0
+        \end{pmatrix}.
+    \]
+    То есть $\mathcal{M}_G = \{M_a, M_b\}$.
+\end{example}
+
 Как итог, уже можно заметить, что введение алгебраических структур как абстракции позволяет достаточно унифицированным образом смотреть на различные графы и их матрицы смежности.
 Далее мы увидим, что данный путь позволит решать унифицированным образом достаточно широкий круг задач, связанных с анализом путей в графах.
 Но сперва мы рассмотрим некоторые классические задачи анализа графов, которые понадобятся нам далее, и покажем их связь с линейной алгеброй.