Добавлен пример на композицию множеств через перемноженеи матриц.

Author: gsvgit

book_structure.md

@@ -37,9 +37,8 @@
 ### Глава 2. Некоторые понятия теории множеств — `SetTheory.tex` — ✅
 
 - ✅ Раздел "Основные определения"
-- ⚠️ Раздел "Отношения"
-  - Задачи
-    - Добавить пример к теореме 2.1 (про отношение и произведение матриц)
+- ✅ Раздел "Отношения"
+
 
 ### Глава 3. Некоторые сведения из теории графов — `GraphTheoryIntro.tex` — ⚠️
 

tex/part_01_Prep/chapter_01_LinearAlgebra/08_AppliedAspects.tex

@@ -1,2 +1,4 @@
 \section{Прикладные особенности}
-Todo.
+
+\mytodo{Написать раздел}
+Планируемое содержание раздела: Взгляд программиста: типы данных, не совсем честные алгебраические структуры ("просто лишь бы типизировалось"), GraphBLAS, разреженность, параллельность. Операции типа маски, map2 и так далее.

tex/part_01_Prep/chapter_02_SetTheory/02_Relations.tex

@@ -44,4 +44,63 @@ \section{Отношения}
 \end{theorem}
 
 Доказательство данной теоремы выполняется на основе определения умножения матриц\sidenote{Оставим его как упражнение для читателя.}.
-\mytodo{Но приведём пример. Три множества: X размера 2, Y размера 3, Z размера два. Отношения нерефлексивны. Первое отношение --- подмножество $X \times Y$, второе --- подмножество $Y \times Z$. Строим композцию и олучаем отношение $X \times Z$. Построить матрицы, перемножить, показать результат. Сказать, что всё соответствует определениям и теореме.}
+Приведём пример.
+
+\begin{example}
+    Рассмотрим три конечных проиндексированных множества:
+    \[X = \{x_0, x_1\}, \quad Y = \{y_0, y_1, y_2\}, \quad Z = \{z_0, z_1\}.\]
+
+    Зададим бинарные отношения $R_1 \subseteq X \times Y$ и $R_2 \subseteq Y \times Z$ следующим образом:
+    \[
+    R_1 = \{(x_0, y_0), (x_0, y_1), (x_1, y_1), (x_1, y_2)\}, \quad
+    R_2 = \{(y_0, z_0), (y_1, z_0), (y_1, z_1), (y_2, z_1)\}.
+    \]
+
+    Построим композицию $R_3 = R_1 \circ R_2$ напрямую по определению.
+    Пара $(x_i, z_j)$ принадлежит $R_3$ тогда и только тогда, когда найдётся такой $y_k \in Y$, что $(x_i, y_k) \in R_1$ и $(y_k, z_j) \in R_2$.
+    Перебирая элементы множества $Y$, получаем:
+    \[
+    R_3 = \{(x_0, z_0), (x_0, z_1), (x_1, z_0), (x_1, z_1)\} = X \times Z.
+    \]
+
+    Теперь построим булевы матрицы, задающие $R_1$ и $R_2$:
+    \[
+    M_{R_1} = \begin{pmatrix}
+    1 & 1 & 0\\
+    0 & 1 & 1
+    \end{pmatrix}, \qquad
+    M_{R_2} = \begin{pmatrix}
+    1 & 0\\
+    1 & 1\\
+    0 & 1
+    \end{pmatrix}.
+    \]
+
+    Матрица $M_{R_1}$ имеет размер $2 \times 3$, $M_{R_2}$~--- размер $3 \times 2$.
+    Перемножим их по правилу матричного умножения, заменив сложение на дизъюнкцию ($\lor$), а умножение~--- на конъюнкцию ($\land$):
+    \[
+    M_{R_3} = M_{R_1} \times M_{R_2} =
+    \begin{pmatrix}
+    1 & 1 & 0\\
+    0 & 1 & 1
+    \end{pmatrix}
+    \begin{pmatrix}
+    1 & 0\\
+    1 & 1\\
+    0 & 1
+    \end{pmatrix} =
+    \]
+    \[
+    =
+    \begin{pmatrix}
+    (1 \land 1) \lor (1 \land 1) \lor (0 \land 0) & (1 \land 0) \lor (1 \land 1) \lor (0 \land 1)\\
+    (0 \land 1) \lor (1 \land 1) \lor (1 \land 0) & (0 \land 0) \lor (1 \land 1) \lor (1 \land 1)
+    \end{pmatrix} =
+    \begin{pmatrix}
+    1 & 1\\
+    1 & 1
+    \end{pmatrix}.
+    \]
+
+    Полученная матрица $M_{R_3}$ задаёт отношение $X \times Z$, что в точности совпадает с $R_3$, вычисленным напрямую по определению композиции.
+\end{example}