add(math/derivative): 导数

Author: HowCam

docs/math/Derivative.md

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+# 导数
+
+## 基本初等函数导数公式
+
+### 基础公式
+
+| 函数 $f(x)$ | 导数 $f'(x)$ | 备注 |
+|:----------:|:-----------:|:----:|
+| $C$（常数）| $0$ | |
+| $x^n$ | $nx^{n-1}$ | $n\in\mathbb{R}$ |
+| $\sin x$ | $\cos x$ | |
+| $\cos x$ | $-\sin x$ | |
+| $e^x$ | $e^x$ | |
+| $a^x$ | $a^x\ln a$ | $a>0,\ a\neq1$ |
+| $\ln x$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x>0$ |
+| $\log_a x$ | $\dfrac{1}{x\ln a}$ | $a>0,\ a\neq1$ |
+
+### 扩展公式
+
+| 函数 | 导数 | 备注 |
+|:----:|:----:|:----:|
+| $\tan x$ | $\dfrac{1}{\cos^2 x}$ | $=1+\tan^2 x$ |
+| $\cot x$ | $-\dfrac{1}{\sin^2 x}$ | $=-(1+\cot^2 x)$ |
+| $\arcsin x$ | $\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | |
+| $\arccos x$ | $-\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | |
+| $\arctan x$ | $\dfrac{1}{1+x^2}$ | |
+| $\ln\vert x\vert$ | $\dfrac{1}{x}$ | $x\neq0$ 统一形式 |
+
+!!! note "易错点"
+    $(\ln\vert x\vert)' = \dfrac{1}{x}$ 对 $x<0$ 也成立。
+
+---
+
+## 导数的运算法则
+
+### 四则运算
+
+设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 均可导：
+
+- **加法** $(u\pm v)' = u' \pm v'$
+- **乘法** $(uv)' = u'v + uv'$
+- **数乘** $(Cu)' = Cu'$
+- **除法** $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$，$v\neq0$
+
+!!! warning "注意"
+    $(uv)' \neq u'v'$，乘法法则不要漏项。
+
+### 复合函数求导（链式法则）
+
+**核心**：从外到内，逐层求导，依次相乘。
+
+$$y = f[g(x)] \quad \Longrightarrow \quad y' = f'[g(x)] \cdot g'(x)$$
+
+**步骤**：
+1. 识别外层函数 $f$，内层函数 $g$
+2. 分别求导
+3. 内外导数相乘
+
+**例**：$y = e^{\sin(3x)}$
+
+| 层次 | 函数 | 导数 |
+|:----:|:----:|:-----|
+| 外层 | $e^{u}$ | $e^{u}$ |
+| 中层 | $\sin(3x)$ | $\cos(3x)\cdot 3$ |
+| 内层 | $3x$ | $3$ |
+
+$$y' = e^{\sin(3x)}\cdot\cos(3x)\cdot 3$$
+
+### 隐函数求导
+
+若方程 $F(x,y)=0$ 确定了 $y$ 是 $x$ 的函数：
+
+1. 两边对 $x$ 求导（**把 $y$ 当作 $x$ 的函数**）
+2. 解出 $y'$（视 $y'$ 为未知数）
+
+---
+
+## 导数与单调性
+
+### 核心定理
+
+设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导：
+
+- $f'(x) > 0 \Longleftrightarrow f(x)$ 在 $I$ 上**单调递增**
+- $f'(x) < 0 \Longleftrightarrow f(x)$ 在 $I$ 上**单调递减**
+- $f'(x)=0$ 是极值点的**必要条件**，非充分条件
+
+!!! note "反例"
+    $f(x)=x^3$，$f'(0)=0$，但 $x=0$ 不是极值点（单调递增）。
+
+### 分析流程
+
+```
+求定义域 → 求导 f'(x) → 解 f'(x)=0 → 划分区间 → 判断符号 → 得出结论
+```
+
+### 含参单调性讨论
+
+根据参数取值范围讨论：
+
+1. $f'(x) > 0$ **恒成立** → 整个区间递增
+2. $f'(x) < 0$ **恒成立** → 整个区间递减
+3. 混合符号 → 先解 $f'(x)=0$，再判断各区间符号
+
+---
+
+## 极值与最值
+
+### 极值判断
+
+**第一充分条件**（最常用）：
+
+| 左侧 $f'(x)$ | 右侧 $f'(x)$ | 结论 |
+|:-----------:|:-----------:|:----:|
+| $>0$ | $<0$ | **极大值点** |
+| $<0$ | $>0$ | **极小值点** |
+| 同号 | 同号 | 不是极值点 |
+
+**第二充分条件**：
+
+$$f'(x_0)=0 \text{ 且 } f''(x_0)\neq0 \Rightarrow \begin{cases} f''(x_0)<0 &\Rightarrow \text{ 极大值} \\ f''(x_0)>0 &\Rightarrow \text{ 极小值} \end{cases}$$
+
+!!! warning "注意"
+    $f''(x_0)=0$ 时第二充分条件失效，需返回第一充分条件判断。
+
+### 最值
+
+闭区间 $[a,b]$ 上的连续函数必取最大、最小值。
+
+```
+求 f'(x)=0 的根 → 算端点值 f(a), f(b) → 比较大小 → 得出最值
+```
+
+---
+
+## 三次函数专题
+
+三次函数 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ (a\neq0)$。
+
+### 导数特征
+
+$$f'(x) = 3ax^2+2bx+c$$
+
+$f'(x)=0$ 最多两实根，对应函数最多两个极值点。
+
+### 常见结论
+
+- **一个极值点**：$\Delta \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调
+- **两个极值点**：$\Delta > 0$ 时，$f(x)$ 先增后减再增（或反过来）
+- **极值点横坐标之和**：$-\dfrac{2b}{3a}$
+- **对称性**：关于拐点 $\left(-\dfrac{b}{3a},\ f\left(-\dfrac{b}{3a}\right)\right)$ 中心对称
+
+---
+
+## 导数的几何意义——切线方程
+
+### 基本公式
+
+曲线 $y=f(x)$ 在点 $P(x_0,\ f(x_0))$ 处：
+
+- **切线斜率**：$k = f'(x_0)$
+- **法线斜率**：$k_{\text{法}} = -\dfrac{1}{f'(x_0)}$（$f'(x_0)\neq0$ 时）
+
+### 方程
+
+- **切线**：$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$
+- **法线**：$y - f(x_0) = -\dfrac{1}{f'(x_0)}(x - x_0)$
+
+### 过某点的切线
+
+设切点为 $(t,\ f(t))$，列方程后代入已知点坐标，解出 $t$。
+
+!!! warning "注意"
+    曲线外一点未必有切线，需检验解的合理性。
+
+---
+
+## 方程有解问题
+
+### 研究思路
+
+将方程 $f(x)=0$ 有解问题转化为函数 $y=f(x)$ 与 $x$ 轴的交点问题。
+
+**核心工具**：
+
+| 工具 | 作用 |
+|:----:|:-----|
+| 单调性 | 若 $f(x)$ 严格单调，则 $f(x)=0$ 至多一解 |
+| 连续性 | $f(a)\cdot f(b)<0$ 时，$(a,b)$ 内必有一解 |
+| 极值 | 结合最值判断交点个数 |
+
+### 常见题型
+
+| 题型 | 处理方法 |
+|:-----|:---------|
+| 讨论方程解的个数 | 结合极值点、端点值分析 $f(x)$ 图像 |
+| 已知有解求参数范围 | 转化为 $f(x)$ 的值域与 $0$ 的关系 |
+| 证明唯一解 | 单调性 + 介值定理 |
+
+---
+
+## 恒成立问题
+
+### 核心思路
+
+**不等式恒成立 $\Longleftrightarrow$ 求最值**
+
+$$f(x) \geqslant 0\ \forall x\in I \quad \Longleftrightarrow \quad \min_{x\in I} f(x) \geqslant 0$$
+
+$$f(x) > g(x)\ \forall x\in I \quad \Longleftrightarrow \quad \min_{x\in I}[f(x)-g(x)] > 0$$
+
+### 参数分离
+
+将参数 $\lambda$ 单独分离到一边：
+
+$$f(x,\ \lambda) \geqslant 0 \quad \Longleftrightarrow \quad \lambda \geqslant G(x) \text{ 或 } \lambda \leqslant G(x)$$
+
+然后求 $G(x)$ 的最值，得到 $\lambda$ 的范围。
+
+---
+
+## 零点问题
+
+### 零点存在定理
+
+若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上**连续**，且 $f(a)\cdot f(b)<0$，则 $\exists\ x_0\in(a,b)$ 使 $f(x_0)=0$。
+
+### 研究方法
+
+```
+零点个数 → 单调性 + 极值点符号 + 端点值
+零点位置 → 逐步缩小区间
+零点个数与参数 → 极值点随参数变化
+```
+
+### 极值点偏移问题
+
+**核心解法**：构造**差函数**
+
+$$F(x) = f(x) - f(x_0 + x_1 - x)$$
+
+分析 $F(x)$ 的单调性，得到 $x_1+x_2$ 的关系。
+
+---
+
+## 常用解题方法
+
+### 分离变量
+
+将参数与变量分开，分别置于不等式两侧。
+
+**适用场景**：参数是一次或可分离时。
+
+### 同构
+
+**本质**：多个代数式具有**相同的结构特征**，可构造同一个函数统一处理。
+
+| 形式 | 同构函数 |
+|:-----|:---------|
+| $xe^x$ 类 | $F(x)=xe^x$ |
+| $\dfrac{e^x}{x}$ 类 | $F(x)=\dfrac{e^x}{x}$ |
+| $x\ln x$ 类 | $F(x)=x\ln x$ |
+| $\dfrac{\ln x}{x}$ 类 | $F(x)=\dfrac{\ln x}{x}$ |
+
+### 端点效应
+
+在含参不等式证明中，**端点值**往往决定最值点或极值点的位置。
+
+---
+
+## 解题步骤模板
+
+面对任何一道导数题，按以下流程走：
+
+1. **写定义域**（容易被忽略！）
+2. **求导** $f'(x)$
+3. **解方程** $f'(x)=0$（分析判别式）
+4. **列表格**（临界点 + 符号判断）
+5. **得结论**（单调性、极值、最值）
+6. **回代原问题**（切线、零点、不等式证明）
+
+!!! tip "压轴题技巧"
+    - 恒成立问题优先考虑**分离变量**
+    - 复杂不等式优先**移项构造新函数**
+    - 同构结构出现时，构造**统一函数**
+    - 多变量问题用**主元法**（固定其他，只变一个）
+    - 极值点偏移用**差函数**技巧

mkdocs.yml

@@ -71,6 +71,8 @@ nav:
         - 三角恒等变换公式: math/Trigonometric-identities.md
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         - 数列知识集锦: math/Sequence.md
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