Matrix-Computations

В этом репозитории собраны некоторые функции с реализацией численных методов линейной алгебры на MATLAB.

1. Приведение пары матриц к форме Хессенберга;
2. Приведение пары матриц к обобщенной форме Шура;
3. Решение непрерывного уравнения Сильвестра методом Голуба-Нэша-Ван-Лоана.

Описание данных алгоритмов представлено в книге «Matrix Computations» (Golub, Van Loan, 1996).

Приведение пары матриц к форме Хессенберга

Две квадратные матрицы $A$ и $B$ с помощью унитарных (ортогональных) преобразований (вращений Гивенса) приводятся к форме Хессенберга:

$$\displaylines{Q^T A Z = H, \\ Q^T B Z = T,}$$

где $Q$ и $Z$ — унитарные (ортогональные) матрицы, такие, что $H$ — матрица в верхней форме Хессенберга, $T$ — верхняя треугольная матрица.

Приведение пары матриц к обобщенной форме Шура

Две квадратные матрицы $A$ и $B$ с помощью унитарных (ортогональных) преобразований (отражений Хаусхолдера) приводятся к обобщенной форме Шура:

$$\displaylines{Q^T A Z = S, \\ Q^T B Z = T,}$$

где $Q$ и $Z$ — унитарные (ортогональные) матрицы, такие, что $S$ — матрица в верхней форме Шура (на поддиагонали нет соседних ненулевых элементов), $T$ — верхняя треугольная матрица.

Решение непрерывного уравнения Сильвестра методом Голуба-Нэша-Ван-Лоана

Находится решение $X_{n \times m}$ непрерывного уравнения Сильвестра вида

$$AX+XB=C,$$

где $A_{n \times n}$, $B_{m \times m}$, $C_{n \times m}$ — исходные матрицы согласованных размерностей.

Перспективы на будущее

Реализация данных алгоритмов на С/С++.