checkpoint12: 全项目193篇教学正文扩写达标+双审闭环

六大方向全部完工：
- 01_数学：纯数学基础7篇扩写+双审闭环
- 02_C++：41篇教学正文双审闭环，修复禁止词+Unicode+事实错误
- 03_SLAM：g2o扩写+双审闭环
- 04_移动规控：综述5篇+微调3篇 双审闭环
- 05_运动控制：机械臂37+足式12+复合17+仿真1 全部双审闭环
- 06_具身智能：Ch01扩写+双审闭环

累计：428文件/736,020行，193篇教学正文全部≥2000行
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01_数学/10_纯数学基础/100_测度论与Lebesgue积分.md

@@ -83,7 +83,7 @@
    ┌─────────────────────────────┤
    │                              ├─→ 贝叶斯更新 / 重要性采样 / Girsanov / KL
    ▼                              ▼
-  L^p 空间 + Riesz–Fischer (§13) ──→ Kalman = L² 投影
+  L^p 空间 + Riesz–Fischer (§13) ──→ Kalman = L^2 投影
    │                              │
    ▼                              ▼
   收敛模式相互关系 (§14)     微分与 FTC (§15)
@@ -1572,7 +1572,7 @@ $$
 $$
 \frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\exp\Big(\int_0^T u_s^\top\,dW_s-\tfrac12\int_0^T|u_s|^2\,ds\Big).
 $$
-这是**路径积分控制**（PI²、MPPI）的数学核心——它把"控制的影响"编码成路径空间上的测度变换，从而能用蒙特卡洛在被动动力学下采样、用 R–N 导数加权来评估受控代价。MPPI 在四足、无人机上的成功，底层就是这个 Girsanov R–N 导数（搜索确认：Girsanov 通过 R–N 导数把含漂移的布朗运动变成标准布朗运动，控制问题里把控制吸收进测度变换）。
+这是**路径积分控制**（$\text{PI}^2$、MPPI）的数学核心——它把"控制的影响"编码成路径空间上的测度变换，从而能用蒙特卡洛在被动动力学下采样、用 R–N 导数加权来评估受控代价。MPPI 在四足、无人机上的成功，底层就是这个 Girsanov R–N 导数（搜索确认：Girsanov 通过 R–N 导数把含漂移的布朗运动变成标准布朗运动，控制问题里把控制吸收进测度变换）。
 
 **(4) KL 散度 = R–N 导数的对数期望（信息几何/信赖域）。** 两个测度的 Kullback–Leibler 散度
 $$
@@ -2028,7 +2028,7 @@ C1 的鞅收敛定理、大数定律、中心极限定理将大量调用 DCT（
 | 本章工具 | 下游应用 | 关键文献 |
 |---------|---------|---------|
 | **DCT**（§8） | 粒子滤波收敛 | Crisan–Doucet 2002；Del Moral 2004 |
-| **R–N 导数**（§12） | 贝叶斯更新、重要性采样、Girsanov(PI²/MPPI)、KL(TRPO/PPO) | Todorov 2009；Theodorou 2010 |
+| **R–N 导数**（§12） | 贝叶斯更新、重要性采样、Girsanov($\text{PI}^2$/MPPI)、KL(TRPO/PPO) | Todorov 2009；Theodorou 2010 |
 | **Fubini**（§10） | SLAM 边际化、Rao–Blackwell 化(FastSLAM)、因子图 sum-product | Montemerlo 2002 |
 | **$L^2$ 投影**（§13） | Kalman/EKF/UKF、LSTD/LSPI | Kalman 1960 |
 | **Haar 测度**（§16） | 姿态估计、群卷积 CNN、姿态图谱 | Barfoot–Furgale 2014；Cohen–Welling 2016 |
@@ -2236,7 +2236,7 @@ C1 的鞅收敛定理、大数定律、中心极限定理将大量调用 DCT（
 11. Del Moral, P., *Feynman–Kac Formulae*, Springer, 2004。
 12. Montemerlo, Thrun, Koller, Wegbreit, "FastSLAM", *AAAI* 2002。
 13. Karaman, S. & Frazzoli, E., "Sampling-based Algorithms for Optimal Motion Planning", *IJRR* 30(7):846–894, 2011。
-14. Theodorou, Buchli, Schaal, "A Generalized Path Integral Control Approach to RL", *JMLR* 11:3137–3181, 2010（PI²，用 Girsanov）。
+14. Theodorou, Buchli, Schaal, "A Generalized Path Integral Control Approach to RL", *JMLR* 11:3137–3181, 2010（$\text{PI}^2$，用 Girsanov）。
 15. Munos, R. & Szepesvári, C., "Finite-Time Bounds for Fitted Value Iteration", *JMLR* 9:815–857, 2008。
 16. Barfoot, T. & Furgale, P., "Associating Uncertainty with 3D Poses", *IEEE T-RO* 30(3):679–693, 2014。
 17. Chirikjian, G. S., *Stochastic Models, Information Theory, and Lie Groups*, Vols. 1–2, Birkhäuser, 2009 & 2012。
@@ -2252,7 +2252,7 @@ C1 的鞅收敛定理、大数定律、中心极限定理将大量调用 DCT（
 | **C1 概率论** | 测度论 = 概率论的语言字典（随机变量/期望/条件期望/鞅） | §6（可测函数）、§7（期望）、§12（条件期望 = R–N）、§8（DCT 证大数定律/鞅收敛） |
 | **Layer-1 流形积分/李群** | 黎曼体积形式 = 流形 Radon 测度；$\mathrm{SE}(3)$ Gauss | §16（Haar 测度、Riesz 表示） |
 | **SLAM / 状态估计** | 贝叶斯滤波、粒子滤波、Kalman 的数学正确性 | §12（贝叶斯/重要性采样）、§8（粒子滤波收敛）、§13（Kalman 投影）、§10（边际化） |
-| **最优控制 / 路径积分** | MPPI/PI² 的 Girsanov 测度变换 | §12（R–N 导数、Girsanov） |
+| **最优控制 / 路径积分** | MPPI/$\text{PI}^2$ 的 Girsanov 测度变换 | §12（R–N 导数、Girsanov） |
 | **强化学习** | TRPO/PPO 信赖域（KL）、SGD a.s. 收敛、LSTD | §12（KL 散度）、§14（a.s. 收敛）、§13（$L^2$ Galerkin 投影） |
 
 ---

01_数学/10_纯数学基础/10_集合论与数理逻辑.md

@@ -13,7 +13,7 @@
 
 ## 前置自测
 
-📋 **前置自测**（答不出 ≥ 2 题 → 先回 B1/B2/A2/A3 复习）
+📋 **前置自测**（答不出 $\geq 2$ 题 $\to$ 先回 B1/B2/A2/A3 复习）
 
 在进入正文之前，请先尝试回答以下五道题。它们不是考试，而是一面镜子——照出你是否已经具备阅读本章所需的"地基"。如果某道题让你完全无从下手，对应的前置章节链接会告诉你回到哪里补课。
 
@@ -266,7 +266,7 @@
 💡 **概念误区：以为"赋范空间"就一定"完备"**
 - **新手想法**："既然定义了范数，序列收敛应该没问题吧。"
 - **现象/后果**：在不完备空间（如 $C([0,1])$ 配 $L^2$ 范数，或多项式空间配 $\sup$ 范数）上套用"Cauchy 序列必收敛"，得到错误的存在性结论。
-- **根本原因**：范数只保证能谈论距离与 Cauchy 性，**不保证 Cauchy 序列收敛**。完备性是独立的额外要求。赋范 ≠ Banach。
+- **根本原因**：范数只保证能谈论距离与 Cauchy 性，**不保证 Cauchy 序列收敛**。完备性是独立的额外要求。赋范 $\neq$ Banach。
 - **正确做法**：使用任何存在性定理前，先确认空间完备（Banach）。若不完备，先做完备化（如 $C([0,1])$ 的 $L^2$ 完备化是 $L^2([0,1])$）。
 
 💡 **概念误区：把有限维"范数等价"的直觉带到无穷维**
@@ -1102,7 +1102,7 @@ $$T=\int_\mathbb{R}\lambda\,dE(\lambda)\quad(\text{von Neumann 1929}).$$
 
 **层次关系**：强收敛 $\Rightarrow$ 弱收敛 $\Rightarrow$ 弱\*收敛（当 $X$ 是某空间的对偶时）。**在无穷维三者严格递增**——存在弱收敛但不强收敛的序列。
 
-**典型例子**：$\ell^2$ 中标准正交基 $e_n\rightharpoonup0$（弱收敛到 0：对任意 $y\in\ell^2$，$\langle e_n,y\rangle=y_n\to0$ 因 $\sum|y_n|^2<\infty$），但 $\|e_n\|=1\not\to0$（不强收敛）。这个例子是理解"弱收敛 ≠ 强收敛"的标准范例——**弱收敛允许"质量逃逸到无穷"或"振荡平均为零"，而范数不变**。
+**典型例子**：$\ell^2$ 中标准正交基 $e_n\rightharpoonup0$（弱收敛到 0：对任意 $y\in\ell^2$，$\langle e_n,y\rangle=y_n\to0$ 因 $\sum|y_n|^2<\infty$），但 $\|e_n\|=1\not\to0$（不强收敛）。这个例子是理解"弱收敛 $\neq$ 强收敛"的标准范例——**弱收敛允许"质量逃逸到无穷"或"振荡平均为零"，而范数不变**。
 
 **弱收敛的关键事实**：
 - **弱极限唯一**（由 Hahn–Banach 保证 $X^*$ 分离点，§B3.3）。
@@ -1123,7 +1123,7 @@ $$T=\int_\mathbb{R}\lambda\,dE(\lambda)\quad(\text{von Neumann 1929}).$$
 
 **Step 3（嵌入像闭）**：验证 $\overline{B_{X^*}}$ 在 $K$ 中的像是闭集——由线性性约束 $f(\alpha x+\beta y)=\alpha f(x)+\beta f(y)$ 在逐点收敛（积拓扑）下保持，故像是闭集。
 
-**Step 4（闭⊂紧 ⟹ 紧）**：紧空间的闭子集紧。
+**Step 4（闭 $\subset$ 紧 $\Longrightarrow$ 紧）**：紧空间的闭子集紧。
 
 **Step 5（拓扑一致）**：验证 $K$ 上的积拓扑限制到像上恰好是弱\*拓扑（两者都是"逐点收敛"拓扑）。$\square$
 
@@ -1183,7 +1183,7 @@ $$\min_{u\in\mathcal{U}}J(u)=\int_0^TL(x(t),u(t))\,dt,\quad\dot x=f(x,u),\ x(0)=
 
 2. **（应用题）** 在最优控制直接法中，考虑代价 $J(u)=\int_0^1(x^2+u^2)dt$（凸）与 $\tilde J(u)=\int_0^1(x^2+(u^2-1)^2)dt$（非凸，偏好 $|u|=1$）。分析：为什么前者用直接法存在性成立，而后者可能失败（极小化序列剧烈振荡，弱极限达不到下确界）？这正是"bang-bang vs 松弛控制"现象的数学根源。
 
-3. **（开放思考题）** Eberlein–Šmulian 定理说自反空间中弱紧 = 弱序列紧。但在一般拓扑空间，紧 ≠ 序列紧。思考：为什么我们如此依赖"序列"紧（而非拓扑紧）？（提示：分析中我们习惯用序列论证。）这个定理为什么是"罕见的恩赐"？它如何让无穷维变分法变得可操作（用熟悉的子列论证而非抽象的网/滤子）？
+3. **（开放思考题）** Eberlein–Šmulian 定理说自反空间中弱紧 = 弱序列紧。但在一般拓扑空间，紧 $\neq$ 序列紧。思考：为什么我们如此依赖"序列"紧（而非拓扑紧）？（提示：分析中我们习惯用序列论证。）这个定理为什么是"罕见的恩赐"？它如何让无穷维变分法变得可操作（用熟悉的子列论证而非抽象的网/滤子）？
 
 ---
 
@@ -1474,7 +1474,7 @@ $$T=\int_{\sigma(T)}z\,dE(z).$$
 💡 **概念误区：以为谱就是特征值集合**
 - **新手想法**："$\sigma(T)$ 就是所有特征值。"
 - **现象/后果**：对乘法算子、平移算子寻找特征值，找不到却误以为"谱为空"。
-- **根本原因**：谱 = 点谱 ∪ 连续谱 ∪ 残差谱。只有有限维（或紧算子非零部分）谱 = 点谱。一般算子的谱大部分可能是连续谱（乘法算子 $\sigma=[0,1]$ 全连续谱）。
+- **根本原因**：谱 $=$ 点谱 $\cup$ 连续谱 $\cup$ 残差谱。只有有限维（或紧算子非零部分）谱 $=$ 点谱。一般算子的谱大部分可能是连续谱（乘法算子 $\sigma=[0,1]$ 全连续谱）。
 - **正确做法**：判断 $\lambda\in\sigma(T)$ 看 $T-\lambda I$ 是否有有界逆，而非是否有特征向量。三分类（不单射/逆无界/值域不稠）覆盖所有情形。
 
 🧠 **思维陷阱：把谱半径等同于范数**
@@ -1602,7 +1602,7 @@ $$\dot\lambda=-\partial_xH,\quad u^*(t)=\arg\min_uH(t,x^*,u,\lambda),\quad H=L+\
 ### 🟣 与 LQR/MPC 的具体连接
 
 - **LQR（线性二次调节器）**：$L=\frac12(x^\top Qx+u^\top Ru)$ 凸，$f$ 线性（仿射），控制空间 $L^2$ 自反——直接法三条件全满足，存在唯一最优解。变分给出 Riccati 方程（要素二）。这是 §B3.6 Hilbert 几何（$L^2$ 内积）+ §B3.11 弱紧性的完美结合，也解释了为什么 LQR 有闭式解（二次型在 Hilbert 空间的极小化）。
-- **MPC（模型预测控制）**：有限 horizon 约束 QP，控制空间有限维（离散化后），存在性由有限维凸优化保证，但其无穷维极限（horizon → ∞）的良定性、稳定性（终端代价 = 无穷 horizon 值函数）依赖本章的弱紧性与 Lax–Milgram 型论证。
+- **MPC（模型预测控制）**：有限 horizon 约束 QP，控制空间有限维（离散化后），存在性由有限维凸优化保证，但其无穷维极限（horizon $\to \infty$）的良定性、稳定性（终端代价 = 无穷 horizon 值函数）依赖本章的弱紧性与 Lax–Milgram 型论证。
 - **$L^\infty$ 约束（bang-bang）**：最小时间控制的 $u\in\{-1,+1\}$ 落在 $L^\infty$，不自反，用弱\*紧性（§B3.12）——这是为什么最小时间问题的存在性证明比 LQR 微妙。
 
 ### ⚠️ 常见陷阱
@@ -1677,7 +1677,7 @@ $$\min_{u\in V,\ u|_{\partial\Omega}=g}\ I(u)=\int_\Omega F(x,u,\nabla u)\,dx.$$
 
 🧠 **思维陷阱：在非凸泛函上期待极小存在**
 - **新手想法**："泛函有下界就有极小。"
-- **实际上**：有下界 + 极小化序列有界 ≠ 极小存在。还需**弱下半连续**（凸性）。非凸泛函（如 $\int(|\nabla u|^2-1)^2$，偏好 $|\nabla u|=1$）的极小化序列可剧烈振荡（微结构），弱极限 $I(u^*)>\inf I$，极小不达到（infimum not attained）。
+- **实际上**：有下界 + 极小化序列有界 $\neq$ 极小存在。还需**弱下半连续**（凸性）。非凸泛函（如 $\int(|\nabla u|^2-1)^2$，偏好 $|\nabla u|=1$）的极小化序列可剧烈振荡（微结构），弱极限 $I(u^*)>\inf I$，极小不达到（infimum not attained）。
 - **正确思维**：检查被积函数关于梯度的凸性（标量）/拟凸性（向量）。非凸需松弛（relaxation, $\Gamma$-收敛）找"有效"极小。
 
 ### 练习
@@ -1786,7 +1786,7 @@ $$\bar f(x)=\mathbf{k}(x)^\top(K+\sigma^2I)^{-1}\mathbf{y}=\sum_i\alpha_ik(x_i,x
 
 ## 数值验证：用代码佐证抽象定理 ⭐⭐
 
-> **理论教学中代码的角色**（R8 适配）：本章 text:code ≥ 85:15，代码**仅用于数值验证**推导结论，不承担讲解功能。以下三段代码分别验证：紧自伴算子谱定理（特征值离散趋零）、Riesz/正交投影（最小二乘 = 投影）、RKHS 表示定理（核岭回归 = GP 后验均值）。读懂理论后，运行它们能"亲眼看到"抽象定理的数值面貌。
+> **理论教学中代码的角色**（R8 适配）：本章 text:code $\geq$ 85:15，代码**仅用于数值验证**推导结论，不承担讲解功能。以下三段代码分别验证：紧自伴算子谱定理（特征值离散趋零）、Riesz/正交投影（最小二乘 = 投影）、RKHS 表示定理（核岭回归 = GP 后验均值）。读懂理论后，运行它们能"亲眼看到"抽象定理的数值面貌。
 
 **验证一：紧自伴算子的谱离散且趋于 0（§B3.9）**。离散化布朗运动协方差核 $\min(x,y)$ 的积分算子，验证特征值 $\lambda_n\approx\frac{1}{(n-1/2)^2\pi^2}$ 且 $\to 0$（紧性的数值体现）。
 
@@ -1868,7 +1868,7 @@ print("核岭回归与GP后验均值最大差:", np.max(np.abs(f_krr - f_gp)))
 | 3 | 空间与其对偶/二次对偶相同 | 一般 $X^{**}\ne X$；只有自反空间嵌入满射；$L^1,L^\infty$ 不自反 | §B3.2, §B3.12 |
 | 4 | 任何完备赋范空间都是 Hilbert 空间 | 需范数满足平行四边形恒等式；$L^p$ 只在 $p=2$ 时是 Hilbert | §B3.6 |
 | 5 | 所有自伴算子有完整特征基 | 仅紧自伴算子有；非紧（乘法算子）只有连续谱，无特征值 | §B3.9, §B3.10, §B3.15 |
-| 6 | 谱就是特征值集合 | 谱 = 点谱∪连续谱∪残差谱；无穷维有连续谱（有限维无） | §B3.15 |
+| 6 | 谱就是特征值集合 | 谱 $=$ 点谱 $\cup$ 连续谱 $\cup$ 残差谱；无穷维有连续谱（有限维无） | §B3.15 |
 | 7 | 弱收敛蕴含强收敛 | 严格更弱；$e_n\rightharpoonup0$ 但 $\|e_n\|=1$；非线性项对弱收敛不连续 | §B3.11 |
 | 8 | 欧拉–拉格朗日解就是极小 | 只是必要条件（临界点）；极小存在需直接法（弱紧+弱下半连续+凸） | §B3.B |
 
@@ -1942,15 +1942,15 @@ print("核岭回归与GP后验均值最大差:", np.max(np.abs(f_krr - f_gp)))
 | 平行四边形恒等式 | 范数来自内积 ⟺ 满足此恒等式（判 Hilbert） | §B3.6 |
 | 正交投影定理 | 闭凸集上最佳逼近存在唯一；残差垂直于子空间 | §B3.6 |
 | Riesz 表示（Hilbert） | $H\cong H^*$（共轭线性等距）；自对偶 | §B3.6 |
-| Parseval 恒等式 | 范数² = Fourier 系数的 $\ell^2$ 范数²；正交基展开 | §B3.7 |
+| Parseval 恒等式 | 范数$^2$ = Fourier 系数的 $\ell^2$ 范数$^2$；正交基展开 | §B3.7 |
 | 紧自伴谱定理 | 紧自伴算子有离散实特征值（趋 0）+ 完整正交特征基 | §B3.9 |
 | Mercer 定理 | 连续正定核 = 特征函数加权外积之和 | §B3.9 |
 | Banach–Alaoglu | 对偶空间单位球弱\*紧（Tychonoff） | §B3.11 |
 | Kakutani 自反刻画 | 自反 ⟺ 单位球弱紧 | §B3.12 |
 | Sobolev 嵌入 | 光滑度换可积性；足够光滑换连续性 | §B3.13 |
 | Rellich–Kondrachov | 有界域上 Sobolev 嵌入紧（弱升强） | §B3.13 |
 | Lax–Milgram | 连续 + 强制双线性形式 ⟹ 弱解存在唯一 | §B3.14 |
-| Céa 引理 | 有限元解拟最优：误差 ≤ (M/α)×最佳逼近误差 | §B3.14 |
+| Céa 引理 | 有限元解拟最优：误差 $\leq$ $(M/\alpha)\times$最佳逼近误差 | §B3.14 |
 | Gelfand–Naimark | 交换 C\*-代数 = 紧空间上连续函数代数 | §B3.15 |
 | Schauder 不动点 | 紧凸集上连续自映射有不动点（非构造） | §B3.16 |
 | Moore–Aronszajn | 对称正定核 ⟺ 唯一 RKHS | §B3.C |
@@ -1970,7 +1970,7 @@ print("核岭回归与GP后验均值最大差:", np.max(np.abs(f_krr - f_gp)))
 | 8 | 正交基/Fourier | 等距 $\ell^2$；$L^2$ 收敛 | §B3.7 | ⭐⭐ |
 | 9 | 紧算子 | 压缩无穷维；Fredholm 择一 | §B3.8 | ⭐⭐ |
 | 10 | 紧自伴谱定理 | 离散特征基；KL 展开/PCA | §B3.9 | ⭐⭐⭐ |
-| 11 | 无界算子 | 微分算子；对称≠自伴；半群 | §B3.10 | ⭐⭐⭐ |
+| 11 | 无界算子 | 微分算子；对称 $\neq$ 自伴；半群 | §B3.10 | ⭐⭐⭐ |
 | 12 | 弱拓扑/Alaoglu | 找回紧性；最优控制存在性 | §B3.11 | ⭐⭐⭐ |
 | 13 | 自反空间 | 弱紧通行证；变分法适用范围 | §B3.12 | ⭐⭐⭐ |
 | 14 | Sobolev 空间 | 弱导数；嵌入定理；PDE 解空间 | §B3.13 | ⭐⭐⭐ |
@@ -2206,7 +2206,7 @@ print("核岭回归与GP后验均值最大差:", np.max(np.abs(f_krr - f_gp)))
 
 **给有经验者的建议**：
 
-- **抓住"有限维 vs 无穷维"的每一处分叉**：你已熟悉有限维，重点关注无穷维"多了什么/丢了什么"——紧性失效、连续谱、对称≠自伴、自反性。这些分叉点是博士研究中最易踩坑处。
+- **抓住"有限维 vs 无穷维"的每一处分叉**：你已熟悉有限维，重点关注无穷维"多了什么/丢了什么"——紧性失效、连续谱、对称 $\neq$ 自伴、自反性。这些分叉点是博士研究中最易踩坑处。
 - **建立"机器人问题 → 泛函分析结构"的反射**：看到 Kalman 想到 $L^2$ 投影，看到 MPC 想到弱紧存在性，看到 GP 想到 RKHS。本章的"🟣机器人应用"小节就是训练这种反射。
 - **批判性阅读文献**：用本章工具审视论文——它默认线性算子连续了吗？混淆强/弱收敛了吗？把闭有界当紧了吗？未验证强制性就用 Lax–Milgram 了吗？这是审稿与研究的硬功夫。
 - **深化方向按需选读**：控制方向深读 Yosida（半群）+ Brezis（变分）；估计/学习方向深读 Steinwart–Christmann（RKHS）+ Reed–Simon（谱）；PDE 方向深读 Brezis + Evans。
@@ -2220,8 +2220,8 @@ print("核岭回归与GP后验均值最大差:", np.max(np.abs(f_krr - f_gp)))
 
 | 工具/库 | 版本 | 用途 |
 |---------|------|------|
-| Python | ≥ 3.9 | 数值验证代码运行环境 |
-| NumPy | ≥ 1.21 | 线性代数（特征值、最小二乘、矩阵求解） |
+| Python | $\geq$ 3.9 | 数值验证代码运行环境 |
+| NumPy | $\geq$ 1.21 | 线性代数（特征值、最小二乘、矩阵求解） |
 
 代码仅用于数值佐证理论结论（§B3.9 谱、§B3.6 投影、§B3.C RKHS），不依赖特殊库，标准科学计算栈即可运行。