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Python 3	python	python3

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入门示例

Overview	The Task: Plotting a White Noise Process	Version 1	Version 1::Imports	Version 1::Imports::Why So Many Imports?	Version 1::Imports::Packages	Version 1::Imports::Subpackages	Version 1::Importing Names Directly	Version 1::Random Draws	Alternative Implementations	Alternative Implementations::A Version with a For Loop	Alternative Implementations::Lists	Alternative Implementations::The For Loop	Alternative Implementations::A Comment on Indentation	Alternative Implementations::While Loops	Another Application	Exercises
概述	任务：绘制白噪声过程	版本一	导入语句	为什么需要这么多导入语句？	包	子包	直接导入名称	随机抽取	替代实现	使用 For 循环的版本	列表	For 循环	关于缩进的说明	While 循环	另一个应用	练习

(python_by_example)=

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入门示例

概述

我们现在准备开始学习 Python 语言本身。

在本讲座中，我们将编写并逐步解析小型 Python 程序。

目标是向您介绍基本的 Python 语法和数据结构。

更深层的概念将在后续讲座中介绍。

在开始本讲座之前，您应该已经阅读过关于 Python 入门的{doc}讲座 <getting_started>。

任务：绘制白噪声过程

假设我们想要模拟并绘制白噪声过程 $\epsilon_0, \epsilon_1, \ldots, \epsilon_T$，其中每个抽取值 $\epsilon_t$ 是独立的标准正态分布。

换句话说，我们想要生成如下所示的图形：

:scale: 120

（这里 $t$ 在横轴上，$\epsilon_t$ 在纵轴上。）

我们将以几种不同的方式来完成这个任务，每次都会学到更多关于 Python 的知识。

版本一

(ourfirstprog)= 以下几行代码可以完成我们设定的任务

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib as mpl  # i18n
import matplotlib.font_manager  # i18n
FONTPATH = "_fonts/SourceHanSerifSC-SemiBold.otf"  # i18n
mpl.font_manager.fontManager.addfont(FONTPATH)  # i18n
mpl.rcParams['font.family'] = ['Source Han Serif SC']  # i18n

rng = np.random.default_rng()
ϵ_values = rng.standard_normal(100)
plt.plot(ϵ_values)
plt.show()

让我们拆解这个程序，看看它是如何工作的。

(import)=

导入语句

程序的前两行从外部代码库中导入功能。

第一行导入 {doc}NumPy <numpy>，这是一个常用的 Python 包，用于以下任务：

处理数组（向量和矩阵）
常用数学函数，如 cos 和 sqrt
生成随机数
线性代数等

在执行 import numpy as np 之后，我们可以通过语法 np.属性名 访问这些属性。

下面是两个更多的示例

np.sqrt(4)

np.log(4)

为什么需要这么多导入语句？

Python 程序通常需要多条导入语句。

原因是核心语言被刻意保持精简，以便于学习、维护和改进。

当您想用 Python 做一些有趣的事情时，几乎总是需要导入额外的功能。

包

如上所述，NumPy 是一个 Python 包。

开发者使用包来组织他们希望共享的代码。

实际上，包就是一个包含以下内容的目录：

包含 Python 代码的文件——在 Python 中称为模块
可能还有一些可被 Python 访问的编译代码（例如，从 C 或 FORTRAN 代码编译的函数）
一个名为 __init__.py 的文件，用于指定当我们键入 import package_name 时将执行的内容

您可以通过运行以下代码来检查 NumPy 的 __init__.py 在 Python 中的位置：

:class: no-execute

import numpy as np

print(np.__file__)

子包

考虑这行代码 rng = np.random.default_rng()。

这里 np 指的是 NumPy 包，而 random 是 NumPy 的一个子包。

子包就是另一个包的子目录中的包。

例如，您可以在 NumPy 的目录下找到 random 文件夹。

直接导入名称

回顾我们上面看到的这段代码

import numpy as np

np.sqrt(4)

这是访问 NumPy 平方根函数的另一种方式

from numpy import sqrt

sqrt(4)

这也是可以的。

如果我们在代码中经常使用 sqrt，其优点是打字更少。

缺点是，在一个较长的程序中，这两行可能被许多其他行分隔开。

这样的话，如果读者想知道 sqrt 来自哪里，就会更难找到。

随机抽取

回到我们绘制白噪声的程序，导入语句之后的剩余三行是

ϵ_values = rng.standard_normal(100)
plt.plot(ϵ_values)
plt.show()

第一行生成 100 个（准）独立的标准正态随机数，并将它们存储在 ϵ_values 中。

接下来两行生成图形。

我们可以并且将在下面研究配置和改进这个图形的各种方式。

替代实现

让我们尝试编写{ref}第一个程序 <ourfirstprog>的一些替代版本，该程序绘制了来自标准正态分布的独立同分布抽取值。

下面的程序比原始版本效率更低，因此有些刻意为之。

但它们确实帮助我们在熟悉的设置中说明一些重要的 Python 语法和语义。

使用 For 循环的版本

这是一个说明 for 循环和 Python 列表的版本。

(firstloopprog)=

ts_length = 100
ϵ_values = []   # 空列表

for i in range(ts_length):
    e = rng.standard_normal()
    ϵ_values.append(e)

plt.plot(ϵ_values)
plt.show()

简而言之，

第一行设置时间序列的期望长度。
下一行创建一个名为 ϵ_values 的空列表，用于在生成时存储 $\epsilon_t$ 值。
语句 # 空列表 是一个注释，被 Python 解释器忽略。
接下来的三行是 for 循环，它反复抽取一个新的随机数 $\epsilon_t$ 并将其追加到列表 ϵ_values 的末尾。
最后两行生成图形并将其显示给用户。

让我们更详细地研究这个程序的某些部分。

(lists_ref)=

列表

考虑语句 ϵ_values = []，它创建一个空列表。

列表是 Python 的原生数据结构，用于将一组对象组合在一起。

列表中的项目是有序的，列表中允许有重复项。

例如，尝试

x = [10, 'foo', False]
type(x)

x 的第一个元素是整数，下一个是字符串，第三个是布尔值。

向列表添加值时，我们可以使用语法 list_name.append(some_value)

x.append(2.5)
x

这里 append() 就是所谓的方法，它是"附属于"对象的函数——在本例中是列表 x。

我们将在{doc}后面 <oop_intro>学习所有关于方法的内容，但为了给您一些概念，

Python 对象（如列表、字符串等）都有用于操作对象中包含的数据的方法。
字符串对象有字符串方法，列表对象有列表方法，等等。

另一个有用的列表方法是 pop()

x.pop()

Python 中的列表是基于零的（与 C、Java 或 Go 一样），所以第一个元素通过 x[0] 引用

x[0]   # x 的第一个元素

x[1]   # x 的第二个元素

For 循环

现在让我们考虑{ref}上面程序 <firstloopprog>中的 for 循环，它是

for i in range(ts_length):
    e = rng.standard_normal()
    ϵ_values.append(e)

Python 在继续之前会执行这两个缩进行 ts_length 次。

这两行被称为代码块，因为它们构成了我们循环遍历的代码"块"。

与大多数其他语言不同，Python 仅通过缩进来知道代码块的范围。

在我们的程序中，缩进在 ϵ_values.append(e) 行之后减少，告诉 Python 这行标志着代码块的下边界。

关于缩进的更多内容见下文——现在让我们看另一个 for 循环的例子

animals = ['dog', 'cat', 'bird']
for animal in animals:
    print("The plural of " + animal + " is " + animal + "s")

这个例子有助于阐明 for 循环的工作原理：当我们执行以下形式的循环时

:class: no-execute

for variable_name in sequence:
    <code block>

Python 解释器执行以下操作：

对于 sequence 的每个元素，它将名称 variable_name "绑定"到该元素，然后执行代码块。

关于缩进的说明

在讨论 for 循环时，我们解释了被循环的代码块由缩进来分隔。

事实上，在 Python 中，所有代码块（即那些出现在循环、if 子句、函数定义等内部的代码块）都由缩进来分隔。

因此，与大多数其他语言不同，Python 代码中的空白会影响程序的输出。

一旦您习惯了这一点，这是一件好事，因为它：

强制使用整洁、一致的缩进，提高可读性
消除冗余，例如其他语言中使用的括号或结束语句

另一方面，需要一点注意才能做对，所以请记住：

代码块开始之前的行总是以冒号结尾
- for i in range(10):
- if x > y:
- while x < 100:
- 等等
代码块中的所有行必须具有相同的缩进量。
Python 标准是 4 个空格，这也是您应该使用的。

While 循环

for 循环是 Python 中最常见的迭代技术。

但为了说明目的，让我们修改{ref}上面的程序 <firstloopprog>，改用 while 循环。

(whileloopprog)=

ts_length = 100
ϵ_values = []
i = 0
while i < ts_length:
    e = rng.standard_normal()
    ϵ_values.append(e)
    i = i + 1
plt.plot(ϵ_values)
plt.show()

while 循环将持续执行由缩进分隔的代码块，直到条件（i < ts_length）被满足。

在本例中，程序将持续向列表 ϵ_values 添加值，直到 i 等于 ts_length：

i == ts_length # while 循环的终止条件

注意：

while 循环的代码块同样仅由缩进来分隔。
语句 i = i + 1 可以替换为 i += 1。

另一个应用

在我们转向练习之前，让我们再做一个应用。

在这个应用中，我们随时间绘制银行账户余额。

在整个时间段内没有取款，时间段的最后日期用 $T$ 表示。

初始余额为 $b_0$，利率为 $r$。

余额从第 $t$ 期到第 $t+1$ 期按 $b_{t+1} = (1 + r) b_t$ 更新。

在下面的代码中，我们生成并绘制序列 $b_0, b_1, \ldots, b_T$。

我们将使用 NumPy 数组来存储这个序列，而不是使用 Python 列表。

r = 0.025         # 利率
T = 50            # 终止日期
b = np.empty(T+1) # 一个空的 NumPy 数组，用于存储所有的 b_t
b[0] = 10         # 初始余额

for t in range(T):
    b[t+1] = (1 + r) * b[t]

plt.plot(b, label='银行余额')
plt.legend()
plt.show()

语句 b = np.empty(T+1) 在内存中分配存储空间，用于存放 T+1 个（浮点数）数字。

这些数字由 for 循环填入。

在开始时分配内存比使用 Python 列表和 append 更高效，因为后者必须反复向操作系统申请存储空间。

注意我们在图中添加了图例——这是您将被要求在练习中使用的功能。

练习

现在我们转向练习。在继续之前完成这些练习非常重要，因为它们介绍了我们将需要的新概念。

:label: pbe_ex1

您的第一个任务是模拟并绘制相关时间序列

$$ x_{t+1} = \alpha , x_t + \epsilon_{t+1} \quad \text{where} \quad x_0 = 0 \quad \text{and} \quad t = 0,\ldots,T $$

冲击序列 ${\epsilon_t}$ 假设为独立同分布的标准正态分布。

在您的解答中，将导入语句限制为

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

设 $T=200$ 且 $\alpha = 0.9$。

:class: dropdown

以下是一种解答。

α = 0.9
T = 200
x = np.empty(T+1)
x[0] = 0
rng = np.random.default_rng()

for t in range(T):
    x[t+1] = α * x[t] + rng.standard_normal()

plt.plot(x)
plt.show()

:label: pbe_ex2

从练习一的解答出发，绘制三条模拟时间序列，分别对应 $\alpha=0$、$\alpha=0.8$ 和 $\alpha=0.98$ 三种情况。

使用 `for` 循环来遍历 $\alpha$ 的值。

如果可以的话，添加图例以帮助区分三条时间序列。

```{hint}
:class: dropdown

* 如果在调用 `show()` 之前多次调用 `plot()` 函数，您生成的所有线条都会出现在同一张图上。
* 对于图例，注意假设 `var = 42`，表达式 `f'foo{var}'` 的求值结果为 `'foo42'`。

:class: dropdown

α_values = [0.0, 0.8, 0.98]
T = 200
x = np.empty(T+1)
rng = np.random.default_rng()

for α in α_values:
    x[0] = 0
    for t in range(T):
        x[t+1] = α * x[t] + rng.standard_normal()
    plt.plot(x, label=f'$\\alpha = {α}$')

plt.legend()
plt.show()

解答中的 `f'$\\alpha = {α}$'` 是 [f-字符串](https://docs.python.org/3/tutorial/inputoutput.html#tut-f-strings) 的应用，它允许您使用 `{}` 来包含一个表达式。

被包含的表达式将被求值，结果将被放入字符串中。

:label: pbe_ex3

与前面的练习类似，绘制时间序列

$$
x_{t+1} = \alpha \, |x_t| + \epsilon_{t+1}
\quad \text{where} \quad
x_0 = 0
\quad \text{and} \quad t = 0,\ldots,T
$$

使用 $T=200$、$\alpha = 0.9$ 以及和之前一样的 $\{\epsilon_t\}$。

在网上搜索一个可用于计算绝对值 $|x_t|$ 的函数。

:class: dropdown

以下是一种解答：

α = 0.9
T = 200
x = np.empty(T+1)
x[0] = 0
rng = np.random.default_rng()

for t in range(T):
    x[t+1] = α * np.abs(x[t]) + rng.standard_normal()

plt.plot(x)
plt.show()

:label: pbe_ex4

几乎所有编程语言的一个重要方面是分支和条件判断。

在 Python 中，条件通常使用 if--else 语法实现。

下面是一个示例，对数组中的每个负数打印 -1，对每个非负数打印 1

numbers = [-9, 2.3, -11, 0]

for x in numbers:
    if x < 0:
        print(-1)
    else:
        print(1)

现在，编写练习三的新解答，不使用现有函数来计算绝对值。

用 if--else 条件替换这个现有函数。

:class: dropdown

以下是一种方式：

α = 0.9
T = 200
x = np.empty(T+1)
x[0] = 0
rng = np.random.default_rng()

for t in range(T):
    if x[t] < 0:
        abs_x = - x[t]
    else:
        abs_x = x[t]
    x[t+1] = α * abs_x + rng.standard_normal()

plt.plot(x)
plt.show()

以下是写同样内容的更简短方式：

α = 0.9
T = 200
x = np.empty(T+1)
x[0] = 0
rng = np.random.default_rng()

for t in range(T):
    abs_x = - x[t] if x[t] < 0 else x[t]
    x[t+1] = α * abs_x + rng.standard_normal()

plt.plot(x)
plt.show()

:label: pbe_ex5

这是一个需要一些思考和规划的较难练习。

任务是使用蒙特卡洛方法计算 $\pi$ 的近似值。

除以下内容外不使用其他导入语句

import numpy as np

:class: dropdown

您的提示如下：

* 如果 $U$ 是单位正方形 $(0, 1)^2$ 上的二元均匀随机变量，那么 $U$ 落在 $(0,1)^2$ 的子集 $B$ 中的概率等于 $B$ 的面积。
* 如果 $U_1,\ldots,U_n$ 是 $U$ 的独立同分布副本，那么随着 $n$ 变大，落在 $B$ 中的比例收敛到落在 $B$ 中的概率。
* 对于圆，$面积 = \pi \times 半径^2$。

:class: dropdown

考虑嵌入单位正方形中的直径为 1 的圆。

设 $A$ 为其面积，$r=1/2$ 为其半径。

如果我们知道 $\pi$，则可以通过 $A = \pi r^2$ 计算 $A$。

但这里的重点是计算 $\pi$，我们可以通过 $\pi = A / r^2$ 来做到这一点。

总结：如果我们能估计直径为 1 的圆的面积，那么除以 $r^2 = (1/2)^2 = 1/4$ 就得到 $\pi$ 的估计值。

我们通过抽取二元均匀随机数并观察落入圆中的比例来估计面积。

n = 1000000 # 蒙特卡洛模拟的样本量
rng = np.random.default_rng()

count = 0
for i in range(n):

    # 在正方形上随机抽取位置
    u, v = rng.uniform(), rng.uniform()

    # 检查该点是否落在以 (0.5,0.5) 为圆心的
    # 单位圆的边界内
    d = np.sqrt((u - 0.5)**2 + (v - 0.5)**2)

    # 如果落在内切圆内，
    # 将其加入计数
    if d < 0.5:
        count += 1

area_estimate = count / n

print(area_estimate * 4)  # 除以半径的平方

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子包

直接导入名称

随机抽取

替代实现

使用 For 循环的版本

列表

For 循环

关于缩进的说明

While 循环

另一个应用

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