From a142ea99182093c68d3ed0848d1480a1f703e5a5 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Sat, 18 Jul 2026 17:25:06 +1000 Subject: [PATCH 1/2] =?UTF-8?q?=F0=9F=94=84=20resync=20eig=5Fcirculant.md?= MIME-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=UTF-8 Content-Transfer-Encoding: 8bit --- .translate/state/eig_circulant.md.yml | 6 ++ lectures/eig_circulant.md | 104 +++++++++++++++++--------- 2 files changed, 74 insertions(+), 36 deletions(-) create mode 100644 .translate/state/eig_circulant.md.yml diff --git a/.translate/state/eig_circulant.md.yml b/.translate/state/eig_circulant.md.yml new file mode 100644 index 00000000..bfabd857 --- /dev/null +++ b/.translate/state/eig_circulant.md.yml @@ -0,0 +1,6 @@ +source-sha: 6a512f1f2079665601fd77fad821c19a8c75b292 +synced-at: "2026-07-18" +model: claude-sonnet-5 +mode: RESYNC +section-count: 6 +tool-version: 0.17.0 diff --git a/lectures/eig_circulant.md b/lectures/eig_circulant.md index 4fec3424..317ffc38 100644 --- a/lectures/eig_circulant.md +++ b/lectures/eig_circulant.md @@ -9,21 +9,35 @@ kernelspec: display_name: Python 3 (ipykernel) language: python name: python3 +translation: + title: 循环矩阵 + headings: + Overview: 概述 + Constructing a Circulant Matrix: 构造循环矩阵 + Constructing a Circulant Matrix::Some Properties of Circulant Matrices: 循环矩阵的一些性质 + Connection to Permutation Matrix: 与置换矩阵的联系 + Examples with Python: Python示例 + Associated Permutation Matrix: 关联的置换矩阵 + Discrete Fourier Transform: 离散傅里叶变换 --- # 循环矩阵 ## 概述 -本讲座将介绍循环矩阵这一特殊的矩阵类型。 +本讲座将介绍循环矩阵及其一些性质。 -循环矩阵有着独特的结构特征，这使得它们与许多重要的数学概念密切相关，比如： +循环矩阵之所以有用，是因为与它们相乘和卷积密切相关，并且它们的特征向量可以用离散傅里叶变换来构造。 + +我们用循环矩阵将几个有用的概念联系起来，包括 * 卷积运算 * 傅里叶变换 * 置换矩阵 -正是由于这些重要联系，循环矩阵在机器学习等领域得到了广泛应用。例如，它们在图像处理中扮演着重要角色。 +关于特征值和特征向量的背景知识，请参见 {doc}`linear_algebra`；关于傅里叶变换和卷积的另一个应用，请参见 {doc}`hoist_failure`。 + +循环矩阵在机器学习中也有广泛应用，例如在图像处理中。 我们首先导入一些Python包： @@ -62,13 +76,27 @@ c_{1} & c_{2} & c_{3} & c_{4} & c_{5} & \cdots & c_{0} \end{array}\right] $$ (eqn:circulant) +这个模式可以形式化如下。 + +```{prf:definition} 循环矩阵 +:label: def-circulant-matrix + +一个 $N \times N$ 矩阵 $C$ 是**循环的**，如果存在数字 $c_0, \ldots, c_{N-1}$，使得 + +$$ +C_{ij} = c_{(j-i) \bmod N}, +\qquad 0 \leq i,j \leq N-1. +$$ + +等价地，每一行都是通过将上一行的元素向右移动一位而得到的。 +``` + 也可以通过创建上述矩阵的转置来构造循环矩阵，在这种情况下只需要指定第一列。 让我们编写一些Python代码来生成循环矩阵： ```{code-cell} ipython3 -@jit -def construct_cirlulant(row): +def construct_circulant(row): N = row.size @@ -84,19 +112,22 @@ def construct_cirlulant(row): ```{code-cell} ipython3 # 当 N = 3 时的一个简单例子 -construct_cirlulant(np.array([1., 2., 3.])) +construct_circulant(np.array([1., 2., 3.])) ``` ### 循环矩阵的一些性质 -以下是一些有用的性质。 +以下是一些有用的性质： -假设 $A$ 和 $B$ 都是循环矩阵。那么可以验证： +假设 $A$ 和 $B$ 都是同阶的循环矩阵，并且采用相同的循环移位约定构造。 + +那么可以验证： * 循环矩阵的转置是循环矩阵 - * $A + B$ 是循环矩阵 - * $A B$ 是循环矩阵 - * $A B = B A$ + + * $A + B$ 是循环矩阵 + * $A B$ 是循环矩阵 + * $A B = B A$ 现在考虑一个第一行为 @@ -109,16 +140,18 @@ construct_cirlulant(np.array([1., 2., 3.])) 向量 $c$ 和 $a$ 的**卷积**定义为向量 $b = c * a $，其分量为 $$ - b_k = \sum_{i=0}^{n-1} c_{k-i} a_i + b_k = \sum_{i=0}^{N-1} c_{k-i} a_i $$ (eqn:conv) +这里以及下文中，诸如 $k-i$ 之类的下标都按模 $N$ 来理解。 + 我们使用 $*$ 来表示通过方程 {eq}`eqn:conv` 描述的**卷积**计算。 可以验证向量 $b$ 满足 -$$ b = C^T a $$ +$$ b = C^\top a $$ -其中 $C^T$ 是方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵的转置。 +其中 $C^\top$ 是方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵的转置。 ## 与置换矩阵的联系 @@ -167,7 +200,7 @@ $$ 并求解 $$ -\textrm{det}(P - \lambda I) = (-1)^N \lambda^{N}-1=0 +\textrm{det}(P - \lambda I) = (-1)^N(\lambda^N - 1)=0 $$ 来计算。 @@ -181,7 +214,7 @@ $$ 可以验证置换矩阵是正交矩阵： $$ -P P' = I +P P^\top = I $$ ## Python示例 @@ -189,8 +222,7 @@ $$ 让我们编写一些Python代码来说明这些概念： ```{code-cell} ipython3 -@jit -def construct_P(N): +def construct_cyclic_shift_matrix(N): P = np.zeros((N, N)) @@ -202,7 +234,7 @@ def construct_P(N): ``` ```{code-cell} ipython3 -P4 = construct_P(4) +P4 = construct_cyclic_shift_matrix(4) P4 ``` @@ -213,16 +245,16 @@ P4 ```{code-cell} ipython3 for i in range(4): - print(f'𝜆{i} = {𝜆[i]:.1f} \nvec{i} = {Q[i, :]}\n') + print(f'𝜆{i} = {𝜆[i]:.1f} \nvec{i} = {Q[:, i]}\n') ``` -让我们在复平面上绘制移位置换矩阵的特征值。 +在下面的图中，我们将在复平面上描绘移位置换矩阵的特征值。 -从图中可以看出，这些特征值在单位圆上均匀分布。 +这些特征值在单位圆上均匀分布。 -这些特征值实际上就是单位根 -- 即满足方程 $z^n = 1$ 的复数 $z$。 +它们是**$n$ 个单位根**，也就是说，它们是满足 $z^n =1$ 的 $n$ 个数 $z$，其中 $z$ 是复数。 -具体来说，对于阶数为 $n$ 的置换矩阵，其特征值就是 $n$ 个单位根，它们的表达式为 +具体来说，$n$ 个单位根为 $$ z = \exp\left(\frac{2 \pi j k }{N} \right) , \quad k = 0, \ldots, N-1 @@ -238,7 +270,7 @@ for i, N in enumerate([3, 4, 6, 8]): row_i = i // 2 col_i = i % 2 - P = construct_P(N) + P = construct_cyclic_shift_matrix(N) 𝜆, Q = np.linalg.eig(P) circ = plt.Circle((0, 0), radius=1, edgecolor='b', facecolor='None') @@ -317,14 +349,14 @@ Q8 = F8 / np.sqrt(8) ``` ```{code-cell} ipython3 -# 验证正交性 +# 验证正交性（酉性） Q8 @ np.conjugate(Q8) ``` 让我们验证 $Q_{8}$ 的第 $k$ 列是 $P_{8}$ 的特征向量，对应的特征值是 $w^{k}$。 ```{code-cell} ipython3 -P8 = construct_P(8) +P8 = construct_cyclic_shift_matrix(8) ``` ```{code-cell} ipython3 @@ -338,12 +370,12 @@ for j in range(8): diff_arr ``` -## 循环矩阵与置换矩阵的关系 +## 关联的置换矩阵 -接下来，我们将验证方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵 $C$ 可以表示为置换矩阵的线性组合： +接下来，我们进行计算以验证方程 {eq}`eqn:circulant` 中定义的循环矩阵 $C$ 可以写成 $$ -C = c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{n-1} P^{n-1} +C = c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{N-1} P^{N-1} $$ 并且 $P$ 的每个特征向量也是 $C$ 的特征向量。 @@ -359,10 +391,10 @@ c ``` ```{code-cell} ipython3 -C8 = construct_cirlulant(c) +C8 = construct_circulant(c) ``` -计算 $c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{n-1} P^{n-1}$ +计算 $c_{0} I + c_{1} P + \cdots + c_{N-1} P^{N-1}$。 ```{code-cell} ipython3 N = 8 @@ -389,7 +421,7 @@ C8 np.abs(C - C8).max() ``` -$P_8$ 的第 $k$ 列是 $C_8$ 的特征向量，其特征值为 $\sum_{h=0}^{7} c_h w^{hk}$，其中 $w^{k-1}$ 是 $P_8$ 对应的特征值。 +$Q_{8}$ 的第 $j$ 列是 $C_{8}$ 的特征向量，其关联的特征值为 $\sum_{k=0}^{7} c_k w^{j k}$。 ```{code-cell} ipython3 𝜆_C8 = np.zeros(8, dtype=complex) @@ -482,7 +514,7 @@ def plot_magnitude(x=None, X=None): if (X is not None): data.append(X) names.append('X') - xs.append('j') + xs.append('k') num = len(data) for i in range(num): @@ -510,7 +542,7 @@ x_{n} = \sum_{k=0}^{N-1} \frac{1}{N} X_{k} e^{2\pi\left(\frac{kn}{N}\right)i}, \ $$ ```{code-cell} ipython3 -def inverse_transform(X): +def inverse_DFT(X): N = len(X) w = np.e ** (complex(0, 2*np.pi/N)) @@ -524,7 +556,7 @@ def inverse_transform(X): ``` ```{code-cell} ipython3 -inverse_transform(X) +inverse_DFT(X) ``` 另一个例子是 From 6b5cb1342cfec6a739831622ef886b8f6bfbe0c4 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matt McKay Date: Sun, 19 Jul 2026 14:04:05 +1000 Subject: [PATCH 2/2] Restore trailing newline (engine issue tracked in QuantEcon/action-translation#116) Co-Authored-By: Claude Fable 5 --- lectures/eig_circulant.md | 2 +- 1 file changed, 1 insertion(+), 1 deletion(-) diff --git a/lectures/eig_circulant.md b/lectures/eig_circulant.md index 317ffc38..7417194d 100644 --- a/lectures/eig_circulant.md +++ b/lectures/eig_circulant.md @@ -645,4 +645,4 @@ F20 @ x ```{code-cell} ipython3 F20_inv = np.linalg.inv(F20) F20_inv @ X -``` \ No newline at end of file +```