README.md

Вступительное испытание на направление Квантовые вычисления

В этом треке будут оцениваться не только ваши знания, но и подходы к решению задач. При отправке решения обязательно приложите сканы, на которых будет подробно расписан процесс решения предложенных задач. Оценка будет проводиться по двухбалльной системе: один балл за правильный ответ и один балл за ход решения. Демонстрация уникального понимания и подхода к задачам будет приветсвоваться.

Задача 1

Найти все матрицы $X$, удовлетворяющие следующим условиям:

$$AX^2 + BX - A = O, \quad \det X = 1,$$

где

$$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 0 & 21 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \quad O - \text{нулевая матрица}.$$

Задача 2

Пусть есть некоторый оператор $\hat{A}$, такой, что

$$\hat{A} \begin{bmatrix} a c \\ a d \\ b c \\ b d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a c \\ b c \\ a d \\ b d \end{bmatrix}.$$

Найдите такой оператор $\hat{A}$.

Введем следующее обозначение:

$$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} e & f \\ g & h \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ae & af & be & bf \\\ ag & ah & bg & bh \\\ ce & cf & de & df \\\ cg & ch & dg & dh \\\ \end{bmatrix}.$$

Найдите или опровергните существование таких операторов $\hat{\alpha}$ и $\hat{\beta}$, что

$$\hat{\alpha} \otimes \hat{\beta} = \hat{A}.$$

Задача 3

Найдите все комплексные числа $z$, удовлетворяющие следующему неравенству:

$$|z - 1| = |z + i|$$

Задача 4

Обоснуйте письменно принцип расчёта асимптотики поиска элемента в сбалансированном бинарном дереве.

Задача 5

Пусть монетка подбрасывается 49 раз. Если после очередного броска две последние монетки ОО, то из банка изымают 1 рубль. Если две последние монетки РР, то банк пополняют на 1 рубль. Иначе ничего не делают.

Рассчитайте математическое ожидание баланса банка после 49 подбрасываний.