add draft: geometry-2-midterm

Author: Rratic

content/posts/geometry_2_midterm.md

@@ -0,0 +1,116 @@
++++
+title = "几何学Ⅱ期中复习笔记"
+draft = true
+
+[extra]
+math = true
+toc = true
+
+[extra.sitemap]
+priority = "0.8"
+
+[taxonomies]
+categories = ["知识"]
+tags = ["笔记", "数学", "几何"]
++++
+
+本文用于准备几何学Ⅱ的期中考试。这半学期的主要内容是古典微分几何，嵌入 $\mathbb{E}^3$ 看的曲线论与曲面论。
+
+## 曲线论
+空间曲线被定义为光滑映射 $\gamma: J \to \mathbb{E}^3$. 如果懒得讨论端点，可以取 $J$ 为一个开区间。
+
+我们定义长度：
+
+$$\mathrm{Length}_\gamma([a, b]) = \int_a^b \lVert \gamma'(t) \rVert \mathrm{d}t$$
+
+弧长参数是指参数恒成立：
+
+$$\lVert \gamma'(t) \rVert = 1$$
+
+### 曲率与挠率
+在弧长参数下，定义：
+
+### Frenet 标架
+
+## 曲面论
+局部正则参数曲面片记为：
+
+$$\varphi: U \to \mathbb{E}^3$$
+
+其中 $U \subseteq \mathbb{R}$ 中的点记作 $u = (s, t)$. 我们用下标 $s, t$ 分别表示对 $s, t$ 求偏导。
+
+### 基本形式
+我们定义 $E(u) = \phi_s(u) \cdot \phi_s(u), F(u) = \phi_s(u) \cdot \phi_t(u), G(u) = \phi_t(u) \cdot \phi_t(u)$. 记**第一基本形式**：
+
+$$g = E\mathrm{d}s^2 + 2F\mathrm{d}s\mathrm{d}t + G\mathrm{d}t^2$$
+
+正交参数是指 $F = 0$, 等温参数是指正交且 $E = G$.
+
+我们记单位法向量：
+
+$$\mathbf{n} = \frac{\phi_s \times \phi_t}{\lVert \phi_s \times \phi_t \rVert}$$
+
+定义：
+
+$$
+\begin{cases}
+	L = \phi _{ss} \cdot \mathbf{n} = -\phi_s \cdot \mathbf{n} _s \\\\
+	M = \phi _{st} \cdot \mathbf{n} = -\phi_s \cdot \mathbf{n} _t = -\phi _t \cdot \mathbf{n} _s \\\\
+	N = \phi _{tt} \cdot \mathbf{n} = -\phi_t \cdot \mathbf{n} _t
+\end{cases}
+$$
+
+及**第二基本形式**：
+
+$$h = L\mathrm{d}s^2 + 2M\mathrm{d}s\mathrm{d}t + N\mathrm{d}t^2$$
+
+### 曲率
+我们令**平均曲率**：
+
+$$H = \frac{1}{2} \cdot \frac{LG-2MF+NE}{EG-F^2}$$
+
+令 **Gauss 曲率**：
+
+$$K = \frac{LN-M^2}{EG-F^2}$$
+
+称 $\lambda^2 - 2H\lambda + K = 0$ 的两根 $\kappa_1, \kappa_2$ 为主曲率。
+
+{% admonition(type="tip", title="几何直观") %}
+考察曲面上的曲线 $\gamma(r) = \phi(u(r))$ 是弧长参数的。由于 $\ddot\gamma \bot \dot\gamma$ 存在分解：
+
+$$\ddot\gamma = \kappa_n\mathbf{n} + \kappa_g\mathbf{n} \times \dot\gamma$$
+
+其中 $\kappa_n$ 称为**法曲率**，$\kappa_g$ 称为**测地曲率**。我们算得：
+
+$$\ddot\gamma = (\dot s^2 \phi_{ss} + 2\dot s \dot t \phi_{st} + \dot t^2 \phi_{tt}) + (\ddot s \phi_s + \ddot t \phi_t)$$
+
+对两式均进行两边同乘 $\mathbf{n}$, 即得 $\kappa_n = L\dot s^2 + 2M\dot s \dot t + N\dot t^2$.
+
+{% admonition(type="note", title="理解") %}
+如果 $\phi$ 在某处的第一基本形式为 $\mathrm{d}s^2 + \mathrm{d}t^2$（总可以选取适当参数达到），那么 $\kappa_1, \kappa_2$ 是 $\kappa_n$ 的两个极值。对应线向就是主方向。
+{% end %}
+
+{% end %}
+
+考察 Gauss 映射：
+
+$$
+\begin{aligned}
+\mathcal{G} \colon U & \to \mathbb{S}^2 \\\\
+    u & \mapsto \mathbf{n}(u)
+\end{aligned}
+$$
+
+我们定义 Weingarten 映射 $W$ 从 $\mathbf{n}(u)^\bot$ 映到自身（更准确地说从 $T_uU$ 映到自身）：对 $\mathbf{v} \in \mathbf{n}(u)^\bot$ 任取弧长参数曲线 $\gamma(r) = \phi(u(r))$ 使得 $\dot\gamma(0) = \mathbf{v}$. 此时令：
+
+$$W(v) = -\frac{\mathrm{d}(\mathcal{G} \circ \gamma)}{\mathrm{d}r}\Big|_{r=0}$$
+
+取基 $\phi_s, \phi_t$, 有 $W(\phi_s) = -\mathbf{n}_s, W(\phi_t) = -\mathbf{n}_t$. 在基上的矩阵为：
+
+$$\begin{pmatrix} E & F \\\\ F & G \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} L & M \\\\ M & N \end{pmatrix}$$
+
+可见 $H = \frac{1}{2} \operatorname{tr} W, K = \det W$, 两个主曲率是其特征值，对应的特征线向为**主方向**。两个主方向是正交的。
+
+称 $\kappa_1 = \kappa_2$ 的点为脐点，切向量处处为主方向的曲线为**曲率线**；法曲率处处为零的曲线称为渐近曲线；测地曲率处处为零的曲线称为测地线。
+
+### 曲面论基本方程