@@ -22,7 +22,7 @@ tags = ["笔记", "物理", "量子物理"]
2222参考阅读
2323- [ 《初识量子力学》] ( https://chaoli.club/index.php/10485 )
2424
25- ## 矩阵革命
25+ ## 氢原子光谱
2626### 矩阵引入与运动方程
2727人们发现原子光谱中谱线角频率总是可以被一组正整数表示成 $\omega_ {mn}$，且满足里兹组合规则：
2828
@@ -140,7 +140,8 @@ $$A_{mn} = \langle m|\hat{A}|n\rangle \tag{1.11}$$
140140
141141不严格地说，可以把左态矢 $\langle m|$ 看作行向量，把右态矢 $|n \rangle$ 看作列向量。
142142
143- ## 量子力学基本原理
143+ ## Stern-Gerlach 实验
144+ ### 量子力学基本原理
144145我们现在讨论一般的可能性集（而非氢原子电子的定态）。
145146
146147让我们考虑 Feynman 改编的 Stern-Gerlach 实验。让一束非极化原子（每个原子总角动量取向完全随机）沿水平方向（记作 $y$ 方向）通过一个非均匀指向 $z$ 方向，且梯度也沿 $z$ 方向的磁场，它将分裂为分立的三束。
@@ -193,4 +194,97 @@ $$\langle i | j' \rangle = \langle j' | i \rangle^\ast$$
193194
194195$$ \langle jR | \hat{A}\hat{B} | iS \rangle = \sum_k \langle jR | \hat{A} | k \rangle \langle k | \hat{B} | iS \rangle \tag{2.6} $$
195196
196- {{ todo() }}
197+ 对一个可确定区分可能性完备集，人们常常把 $\langle j | \hat{A} | i \rangle$ 排成：
198+
199+ $$
200+ \begin{bmatrix}
201+ \langle 1 | \hat{A} | 1 \rangle & \langle 1 | \hat{A} | 2 \rangle & \cdots \\\\
202+ \langle 2 | \hat{A} | 1 \rangle & \langle 2 | \hat{A} | 2 \rangle & \cdots \\\\
203+ \vdots & \vdots & \ddots
204+ \end{bmatrix} \tag{2.7}
205+ $$
206+
207+ 这时候称可能性完备集 $\mathcal{L}$ 为 $\mathcal{L}$ 表象，上述矩阵为物理量 $A$ 在 $\mathcal{L}$ 表象中的矩阵表示。
208+
209+ 能量表象存在一定的特殊性：哈密顿量在其中的表示矩阵为对角矩阵，即：
210+
211+ $$ \langle E_m | \hat{H} | E_n \rangle = \delta_{mn}E_n \tag{2.8} $$
212+
213+ 推广的海森堡运动方程是：
214+
215+ $$ \langle j' | i\hbar \frac{\mathrm{d}\hat{A}}{\mathrm{d}t} | i \rangle = \langle j' | [\hat{A}, \hat{H}] | i \rangle \tag{2.9} $$
216+
217+ ### 态和算符
218+ 考虑进一步简化的 Stern-Gerlach 实验，假设原子只分成两束（角动量由），在磁场指向 $z$ 轴时两种可能记作 $S = \\ {\uparrow, \downarrow\\ }$, 指向 $x$ 轴时两种可能记作 $T = \\ {\rightarrow, \leftarrow\\ }$. 实验测得 $|\langle \rightarrow | \uparrow \rangle|^2 = |\langle \leftarrow | \uparrow \rangle|^2 = |\langle \rightarrow | \downarrow \rangle|^2 = |\langle \leftarrow | \downarrow \rangle|^2 = \frac{1}{2}$. 反之亦然。
219+
220+ 不妨选取为：
221+
222+ $$
223+ \begin{bmatrix}
224+ \langle \uparrow | \rightarrow \rangle & \langle \uparrow | \leftarrow \rangle \\\\
225+ \langle \downarrow | \rightarrow \rangle & \langle \downarrow | \leftarrow \rangle
226+ \end{bmatrix}
227+ = \frac{1}{\sqrt{2}}
228+ \begin{bmatrix}
229+ 1 & 1 \\\\
230+ 1 & -1
231+ \end{bmatrix}
232+ \tag{2.10}
233+ $$
234+
235+ 我们会得到 $\langle \cdots | \uparrow \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \cdots | \rightarrow \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \cdots | \leftarrow \rangle$. 一个自然的想法是写成 $| \uparrow \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} | \rightarrow \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} | \leftarrow \rangle$. 这可以解读成引入了某种** 叠加原理** 。
236+
237+ 这种可以线性叠加的东西就是矢量，称为** 态矢量** 。构成的矢量空间称为希尔伯特空间（因为支持内积），一般来说可以是任意维的，甚至无穷维的。一个量子态对应的是希尔伯特空间中的一条复直线。
238+
239+ 作为可确定区分性的要求，有：
240+
241+ $$ \langle \psi | \psi \rangle = 1 \tag{2.11} $$
242+
243+ 称为归一化条件。
244+
245+ 容易推导出一些结论，如对一个初态可能性 $| \psi \rangle = \sum_i a_i | i \rangle$ 其中 $a_i = \langle i | \psi \rangle$, 若将它作为一个末态可能性则有 $\langle \psi | = \sum_i \langle \psi | i \rangle \langle i | = \sum_i a_i^\ast \langle i |$. 从 $\psi$ 到 $\phi $ 的跃迁幅是一种乘法，即内积 $\langle \phi | \psi \rangle$.
246+
247+ 如果两个态矢量满足 $\langle \phi | \psi \rangle = 0$ 则称它们** 正交** 。可确定区分可能性完备集 $\mathcal{L}$ 需要满足的就是 $\langle i | j \rangle = \delta_ {ij}$ ** 正交归一性** 。
248+
249+ ---
250+
251+ 考察初态可能性 $\psi$ 经物理量 $A$ 作用的结果，由于 $\langle \cdots | A | \psi \rangle$ 可以等效地由 $\langle \cdots | \phi \rangle$ 给出，可以写方程 $| A | \psi \rangle = | \phi \rangle$. 所以我们说量子力学中每一个物理量对应一个** 线性算符** 。
252+
253+ 式子 $| u \rangle \langle v |$ 可以视作一个算符（其运算规则是自然的）。
254+
255+ ### 绘景
256+ 我们回顾海森堡运动方程是 (1.7) 式，量子力学基本对易关系是 $[ X, P] = i\hbar$. 运动方程有一个形式上的通解：
257+
258+ $$ A(t) = e^{iHt/\hbar} A_0 e^{-iHt/\hbar} \tag{2.12} $$
259+
260+ 其中算符放在指数上是指：
261+
262+ $$ e^B = 1 + \frac{1}{1!}B + \frac{1}{2!}B^2 + \frac{1}{3!}B^3 + \cdots \tag{2.13} $$
263+
264+ 读者可自行验证 $e^Be^{-B} = 1$ 及 $i\hbar \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t} = [ A, H] $.
265+
266+ 到现在为止我们都认为量子态不随时间演化（随时间演化的是代表物理量的算符），这种观点称为海森堡绘景；一种等价的观点是物理量算符不随时间演化，而量子态随时间演化，称为薛定谔绘景。从海森堡绘景过渡到薛定谔绘景可通过：
267+
268+ $$ \langle \phi | A(t) | \psi \rangle = \langle \phi | e^{iHt/\hbar} A_0 e^{-iHt/\hbar} | \psi \rangle = \langle \phi(t) | A_0 | \psi(t) \rangle \tag{2.14} $$
269+
270+ 其中 $| \psi(t) \rangle = e^{-iHt/\hbar} | \psi \rangle, | \phi(t) \rangle = e^{-iHt/\hbar} | \phi \rangle$. 注意 $(e^{-iHt/\hbar})^\dagger = e^{iHt/\hbar}$. 对此式对时间求导得到薛定谔方程：
271+
272+ $$ i\hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} | \psi(t) \rangle = H | \psi(t) \rangle \tag{2.15} $$
273+
274+ 在薛定谔绘景中，量子力学基本对易关系是 $[ X_0, P_0] = i\hbar$.
275+
276+ ---
277+
278+ 此处省略一些与[ 量子信息笔记] ( @/posts/quantum_information_1.md ) 中重复的内容。
279+
280+ ---
281+
282+ 如果一个态矢量 $| u_n \rangle$ 满足 $A | u_n \rangle = \lambda_n | u_n \rangle$ 则称它是算符 $A$ 的本征值，这个方程是算符 $A$ 的本征方程。
283+
284+ 哈密顿方程的本征方程叫做定态薛定谔方程，之后会看到其本征态就是能量有确定值的定态，因此定态薛定谔方程可以写成：
285+
286+ $$ H | E_n \rangle = E_n | E_n \rangle \tag{2.16} $$
287+
288+ ### 电子自旋
289+
290+ ## 波动方程与路径积分
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