Skip to content

1.md

Latest commit

 

History

History
303 lines (255 loc) · 15 KB

1.md

File metadata and controls

303 lines (255 loc) · 15 KB
Raw

Geometriák és algebrák:

A geometriák különböző axiómákra épülnek. Például az Euklidészi síkgeometriában az egyik legfontosabb, hogy egy egyenesre egy külső pontból legfeljebb 1 olyan egyenes húzható, ami nem metszi (ez a párhuzamos)

  • Ezeknek az axiómáknak a megváltoztatása különböző eredményekhez vezethet. Például a háromszög szögeinek összege mindig:
    • Hiperbolikus geometriában: $< 180°$
    • Euklidészi geometriában: $180°$
    • Gömbi geometriában: $> 180°$

Görbület

  • Görbék görbülete:

    • Egy adott pontra az alábbi két definíció egyikét használhatjuk:
      • A görbület az egysebességű centripetális gyorsulás ($a_{cp} = \frac{v^2}{R}$, egysebességű = a sebesség nagysága állandó)
      • A simuló kör sugarának reciproka
    • ($\kappa = \frac{1}{r} = \frac{v^2}{r}$)

  • Gauss görbület:

    • Egy felület (mondjuk henger) görbületét szeretnénk meghatározni egy adott pontban. (Ebben a pontban a felületnek van egy normálvektora, ami merőleges a felület síkjára).
    • Ekkor az alakzatot a felvághatjuk síkokkal (amik a pontot metszik és a normálvektorral párhuzamosak)
    • Azek a síkok bármerre állhatnak és a felületet ahogy metszik, úgy egy görbét határoznak meg. Az így kapott görbék közül van 2, ahol az egyiknél minimális a görbület, a másiknál maximális. Ezek a metszési irányok egymásra merőlegesek (ezek a principális / főgörbületi irányok)
    • Az itt található görbületek szorzata a Gauss-görbület

  • Részletesebben (a diasorokon voltak még további alakzatok, ezeken érdemes ezt végig gondolni, a legfontosabb, hogy a normállal mindig párhuzamosak ezek a metszések)

Gömbi geometria

  • Gömb egyenlete: $x^2 + y^2 + z^2 = R^2 = \frac{1}{K}$

  • Itt a görbület állandóan pozitív, az egyenesek is görbék

  • Fontos változás:

    • Két pont nem mindig határoz meg egy egyenest egyértelműen
    • Két egyenes mindig 2 pontban metszi egymást
    • Itt 0 darab nem metsző egyenes van (még a párhuzamosok is metszik egymást)

  • Főkör: 2 pont és a gömb közepe meghatároz egy síkot. A kör, ami a sík és gömb metszésével jön létre a főkör (Nem mindig lehet egyértelműen meghatározni, pl. Északi sark, Déli sark, Origó pontokkal végtelensok sík van)

  • Gömbi geometriában a legrövidebb út két pont között mindig a főkörön van

  • Elliptikus geometria: olyan geometria, ahol az átellenes pontok egynek számítanak

  • Gömbök vetítése:

    1. Középpontos vetítés:
      • csak a felső gömböt
      • egyenes tartó
      • nem kör, szög és távoltástartó
    2. Sztereografikus vetítés:
      • a déli pólus kivételével mindent
      • nem egyenestartó
      • kör és szögtartó, de nem távolságtartó

  • Mercator térkép: hengerre vetít a gömb középpontból, de emiatt megnyúlik.

    • Szögtartó
    • Nem távolságtartó

  • Számolások gömbi geometriánál:

    • A görbület: $\kappa = 1/R^2$
    • Távolság: $R \theta = \theta / \sqrt{\kappa}$ (ez egy körív, ahol 2 pont között $\theta$ szög van - radiánban)
    • Kör kerülete:
    • Háromszögek:
      • $a^2 + b^2 > c^2$
      • $T = (\alpha + \beta + \gamma - \pi) / \kappa$

Hiperbolikus geometria

  • Hiperboloid egyenlete: $x^2 + y^2 - z^2 = -R^2 = \frac{1}{\kappa}$

    • Ez levezethető komplex számmal is $(iR)^2$

  • Itt a görbület állandóan negetív

  • Fontos változások:

    • Egy egyenesre egy külső ponból több nem metsző egyenes húzható

  • Hiperbolikus terek vetítése egy diszkre:

  • Emlékeztető a 3. háziból - 2 kör merőleges:

Minkowski tér

  • A háromdimenziós teret kiterjesztjük egy negyedik dimenzióval, ami az idő
  • Itt nem pontok, hanem események vannak jelen
    • Mert ugyanaz a hely szerepelhet kétszer, de különböző időpontokban más-más esemény közben van
  • Ebben a rendszerben a távolságot úgy kell érteni, hogy $x_1$ helyről $t$ idő alatt egy hatás elér-e egy $x_2$ helyre

Projektív geometria

a GPU mindegyik geometriát támogatja, de projektív geometriában gondolkodik

  • Euklideszi geometriában nem beszélhetünk végtelenről, viszont a projektív geometriában létezik.
  • Fontos változás:
    • Itt két egyenes pontosan egy pontban metszi egymást (vagy 1 pontban metszenek, vagy a végtelenben. Ha azon gondolkodnál, hogy de balra és jobbra is van végtelen, az ne aggasszon, mert az a pont jobbra és balra ugyanaz a végtelen)
  • Ez a rendszer nem metrikus, mert nem lehet pl. távolságról beszélni, hiszen ha a végtelen is része, akkor ami végtelen távol van, azt nem lehet számításba venni
  • Nincsenek olyan koordináta rendszerek, amik távolságokat használnak (fentebb említett ok miatt) - Vagyis Descartes és Polár koordinátarendszerek nem használhatók
    • Itt a zöld és a piros pontok az ideális pontok ahol az egyenesek metszenék egymást. Mivel a geometriánkban végtelen sok egyenes lehet, ezért a piros és zöld pontok között végtelen sok ideális pont lehet még.
  • Ha átgondoljuk, hogy van végtelen sok ideális pont, amik jobbra és balra nézve is önmaguk képviselik, akkor láthatjuk, hogy ez egy elliptikus geometria (fogalma fentebb) csak szög és távolság fogalom nélkül

Síkgeometria

  • 2 dimenzióról beszélünk ($x$,$y$ koordinátákkal), amihez felveszünk egy harmadik tulajdonságot ($w$-t). Így képesek vagyunk Euklideszi és Projektív geometriát is mejeleníteni.
    • Projektív esetben mondjuk azt, hogy csak az egyenes, ami átmegy az origón. Vagyis akkor van egy bizonyos végtelen pontunk, ahol minden egyenes találkozik. Ekkor minden pont végtelen távoli, ahol $w$ = 0, hiszen bármely egyenes, ami rajtuk átmegy, az az origón is. Vagyis az egyenesük párhuzamos lesz a (kék) síkkal, amit látunk.
  • Ambiens tér (ambient space): egy olyan tér, ami valamilyen objektumot körbevesz
    • Ezek a befoglaló terek nekünk az ábrázolást segítik. Ezért az ambiens vektorokat képesnek kell lennünk összeadni és skálázni.
    • Ebből következik, hogy $w=0$ a vektoroknál és $w=1$ a pontoknál (egyéb $w$-k se nem pontok, se nem vektorok).
  • Skaláris szorzás:
    • $a_1 \cdot a_2 = |a_1| |a_2| \cos(\alpha)$
    • Euklideszi geometriában: $a_1 \cdot a_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2$
    • Nem asszociatív művelet (számít a szorzások sorrendje) $(u \cdot v) \cdot w \neq u \cdot (v \cdot w)$
  • Vektoriális szorzás (kereszt szorzás):
    • $|a_1 \times a_2 | = |a_1| |a_2| \sin(\theta)$
    • $c_x = a_y b_z - a_z b_y$ $c_y = a_z b_x - a_x b_z$ $c_z = a_x b_y - a_y b_x$
    • Ez sem asszociatív
  • Vektorok tulajdonságai:
    • Két pont különbsége vektor
    • Az ambiens térnek elemei $[x,y,0]$
    • Hossz: $|v| = \sqrt{v \cdot v}$
    • Merőlegesség: $u \perp v$ ha $u \cdot v = 0$
      • Minden vektorra végtelensok merőleges van $\lambda [y, -x, 0]$
    • Párhuzamosság: $u \parallel v$ ha $u = \lambda v$
      • Minden vektorra végtelensok párhuzamos van $\lambda [x, y, 0]$
  • Egyenesek:
    • Parametrikus egynlet: $r(t) = p + vt$ (vagyis p pontból t ideje indultunk el v vektorrala - ha végig gondolod ez valóban pontok gyűjteménye, hiszen $w=1$ mindig)
    • Implicit egyenlet: $n \cdot (r - p) = 0$
      • Ahol $r$ egyenest határozzuk meg $p$ pontja és $n$ normálvektora segítségével $r(x,y) \Rightarrow [n_x, n_y, 0] \cdot [x - p_x, y - p_y, 0] = 0$ Vagyis: $n_x x + n_y y + d = 0$
      • Ha $r$ helyére behelyettesítünk, akkor könnyen eldönthetjük, hogy egy pont rajta van-e (egyébként pont azért implicit egyenlet, mert az r egyenest nem fejezzük ki explicit)

Térgeometria

  • A cél, hogy minden legyen ugyanolyan mint a síknál, csak mostmár egyel magasabb dimenzióban
  • vektor: $[x,y,z,0]$, pont: $[x,y,z,1]$
  • a korábban megbeszélt műveletek nem válltoznak
  • az egynes egynletek továbbra is megmaradnak
  • Sík egyenlete:
    • Explicit: $r(u,v) = p + au + bv \qquad$ (ahol $a, b$ nem párhuzamos vektorok)
    • Implicit: $n \cdot (r-p) = 0 \qquad \qquad$ (ahol $n$ normálvektor merőleges $a, b$ vektorokra) Vagyis: $n_x x + n_y y + n_z z + d = 0$

Homogén koordináták

  • Homogén koordináták: ahol +1 dimenzióban megadunk egy értéket ami jelöli, hogy ideális pontról beszélünk-e
  • Ezt valamennyire láttuk, a fontos különbség, hogy a $w$ távolság jelölést is segíti nekünk
    • $[2x,2y,1] = [x,y,\frac{1}{2}]$ mert ha osztjuk a $w$ koordinátájával, akkor $[x,y,\frac{1}{2}] / \frac{1}{2} = [2x,2y,1]$
  • Az egyenes implicit egyenlete:
    • $[X(t),Y(t),w(t)] = X_1,Y_1,w_1 + [X_2, Y_2,w_2] \cdot t$
    • Ez 2 különböző pontból segít meghatározni az egyenest
    • De mégis miért jobb ez? Mert ez magától kezeli a végtelen pontokat a Descartes koordinátákkal szemben $n_x X / w + n_y Y / w + d = 0 \qquad w \neq 0$ $n_x X + n_y Y + dw = 0\qquad w \neq 0$
  • Hogyan csináljunk Euklidésziből homogént:
    • Fogjuk a pontokat és mindenhol kibővítjük a pontok koordinátáit $w = 1$-el.

Kvíz

1. Milyen messze van az $(-5, 4)$ pont a $3x + 4y + 5 = 0$ implicit egyenletű egyenestől

Középiskolában tanultakkal megoldható: (ha van gyorsabb megoldás javítsátok)

  1. Egyenesre normálvektort állítasz $(3, 4) \Rightarrow (4, -3)$
  2. Normálvektorral új egyenes, ami átmegy a ponton $4 * (-5) + (-3) * 4 + d = 0$ $d = 32 \Rightarrow 4x -3y + 32 = 0$
  3. Az egyenesek metszéspontjának megtalálása $4x -3y + 32 = 0 \text{ és } 3x + 4y + 5 = 0$ (Mondjuk hozzáadom $\frac{3}{4}$-szer az másodikat az elsőhöz, de sok jó út van) $\frac{25}{4} x + \frac{133}{4} = 0 \Rightarrow x = \frac{-143}{25}$ $\Rightarrow y = \frac{76}{25}$
  4. Metszés pont és eredeti pont távolságának kiszámítása $d = \sqrt{(((-5) - (\frac{-143}{25}))^2 + (4 - \frac{76}{25})^2)} = 1.2$

Alternatív megoldás:

  • képletet használunk $d = n \cdot (r-p)$, ahol $r$ az egyenes és $n$ egység hosszú

    1. a normálvektort egységhosszúvá tesszük $n = (3, 4) \Rightarrow n = \frac{(3, 4)}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5})$ (figyeljünk, implicit egyenletnél a koordináta sorrendre)

    2. az $r-p$ kivonást elvégzzük: (ez egy vektor r és p között) A számításához használhatjuk az $r$ bármely pontját (én az x=0 pontot választottam) $R = (0, \frac{-5}{4})$ Ekkor $r - p = (0, \frac{-5}{4}) - (-5, 4) = (5, -\frac{21}{4})$

    3. elvégezzük a skaláris szorzást: $n \cdot (r-p) = (\frac{3}{5}, \frac{4}{5}) \cdot (5, -\frac{21}{4}) = \frac{3}{5} * 5 + \frac{4}{5} * -\frac{21}{4} = 3 - \frac{21}{5} = -1.2$

    4. De miért negatív? Ez egy előjeles távolság, szóval függ attól, hogy a p pont az egyenes melyik oldalán van Vagyis, ha abszolútértékkel használjuk, akkor helyes megoldást kapunk $|-1.2| = 1.2$ 🍰

(a képlet kb így jön ki)

2. Tekintsünk 2 várost "A"-t és "B"-t az északi szélesség (lattitude) 45 fokán. Az "A" város keleti hosszúsága 165 fok, a "B" város keleti hosszúsága 50 fok. Mekkora az A és B város távolsága km-ben, ha a föld sugarát 6000 km-nek vesszük?

(Ilyenkor nem használhatjuk a Távolság: $R \theta$ képletet direktben, mert x és y tengelyen is van bezárt szög és ezért vagy a sugár méretét kéne arányosítani, vagy a szöget kéne újraszámolni)

Keressük tehát azt a $\theta$ szöget, melyet a A és B (pontosabban a beléjük húzott sugarak) bezárnak a rajtuk átmenő főkörön.

Konkrét megoldás:

Ellenőrzésre és általános esetre script.

3. A gömbi geometriánk Gauss görbülete $0.8$. Mekkora a $0.2$ sugarú kör kerülete ebben a geometriában?

  1. Gauss görbületből a gömb sugara: $K = 1/R^2 \Rightarrow R = 1 / \sqrt{K} = 1 / \sqrt{0.8} \approx 1.12$
  2. A kör sugara most a gömbön található egyenesben mérve van megadva. (a korábbi ábrán ez volt $r$) $r = R * \theta \Rightarrow \theta = 0.2 / 1.12 \approx 0.18$
  3. A kör kerülete pedig: $2 \pi R \sin(\theta) = 2 \pi * 1.12 * \sin(0.18) = 1.2499$ (ha pontos értékekkel számolunk, ha kerekítve, akkor 1.26 kb)

4. Egy pont koordinátái a t idő alábbi függvényei: x(t) = t*t, y(t) = 1/t mekkora a mozgás sebességének a négyzete 1 sec-ben?

  1. A sebesség a mozgás idő szerinti első deriváltja: $x'(t) = 2t \qquad y'(t) = -1 / t^2$
  2. Ezt szeretnénk tudni az 1 időpontban: $x'(1) = 2 \qquad y'(1) = -1 / 1$
  3. Ebből a sebesség: $v = \sqrt{2^2 + (-1)^2} = \sqrt{5}$
  4. Vagyis a sebesség négyzete: $\sqrt{5}^2 = 5$

5. Asszociatív műveletek: (x * y) * z = x * (y * z)

  • Komplex számok szorzata
  • Duális számok szorzata
  • Mátrixok szorzata
  • Vektorok elemenkénti szorzata (ez csak arra ment ki, hogy a vekoriális és a skaláris szorzás ne asszociatív)

10. Kommutatív műveletek: a * b = b * a

  • Komplex számok szorzata
  • Duális számok szorzata
  • Vektorok skaláris szorzata
  • Vektorok elemenkénti szorzata

6. Mi igaz Euklideszi geometriában

  • sinh(3x + 4y + 5) = 0 egy egynes (valóban az)
  • 3x + 4y + 5 = 0 egyenesre merőleges a 4x -3y + 5 = 0
  • 3x + 4y + 5 = 0 egyenes megegyezik a -3x -4y - 5 = 0-tel
  • 3x + 4y + 5 = 0 egyenes párhuzamos a 9x 3y + 5 = 0-tel (ráadásul meg is egyeznek)

7. Milyen műveleti eredmények értelmezhetők Euklideszi geometriában?

  • Két pont kombinációja (ha jól gondolom, ez egy egyenes)
  • Két vektor kombinációja
  • Két vektor összege
  • Vektor szorzása számmal
  • Pont és vektor összege

(pont szorzása vektorral és két pont összege pedig nem létező műveletek)

8-9. Mi igaz a geometriákra

Gömbi Hiperbolikus
A sík görbülete Pozitív Negatív
Egyenes a 2 pont közti legrövidebb út igaz igaz
Háromszög szögeinek összege > 180° < 180°
A pitagorasz tétel nem igaz nem igaz
Egyéb Két különböző egyenes 2 pontban metszi egymást 1 egyenesre 1-nél több nem metsző egyenes van

Következő