docs: use macros

Author: Xecades

docs/cs/tcs/lec11.md

@@ -2,11 +2,18 @@
 title: Lecture 11
 ---
 
+$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$
+$\newcommand{\rmSIZE}{\mathrm{SIZE}}$
+$\newcommand{\rmTIME}{\mathrm{TIME}}$
+$\newcommand{\rmRAM}{\mathrm{RAM}}$
+$\newcommand{\rmTM}{\mathrm{TM}}$
+$\newcommand{\rmHALT}{\mathrm{HALT}}$
+
 从本次课开始，我们主要讨论可计算函数。
 
 ---
 
-**运行时间**：Let $T: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, we say a TM $M$ has a running time of $T(n)$ if for every sufficiently large $n$ and every **input of length $n$**, $M$ halts within $T(n)$ steps. 类似可定义 NAND-RAM 程序的运行时间。
+**运行时间**：Let $T: \NN \to \NN$, we say a TM $M$ has a running time of $T(n)$ if for every sufficiently large $n$ and every **input of length $n$**, $M$ halts within $T(n)$ steps. 类似可定义 NAND-RAM 程序的运行时间。
 
 ::fold{title="假设" always expand}
 通常假设：
@@ -18,29 +25,29 @@ title: Lecture 11
 这样的 $T(n)$ 称为 **nice function**。大多数常见函数都满足这些假设。
 ::
 
-**$\mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(T(n))$** $=\{$boolean function $F\mid F$ is computable by some TM with $T(n)$ running time$\}$，即运行时间在 $T(n)$ 之内的所有布尔函数的集合。e.g. $\mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(10\cdot n^3) \subsetneq \mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(2^n)$。类似可定义 $\mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))$。
+**$\rmTIME_\rmTM(T(n))$** $=\{$boolean function $F\mid F$ is computable by some TM with $T(n)$ running time$\}$，即运行时间在 $T(n)$ 之内的所有布尔函数的集合。e.g. $\rmTIME_\rmTM(10\cdot n^3) \subsetneq \rmTIME_\rmTM(2^n)$。类似可定义 $\rmTIME_\rmRAM(T(n))$。
 
-**$\mathcal{P}=\bigcup_{k\in \mathbb{N}} \mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(n^k)$**，所有在多项式步内计算的布尔函数的集合。
+**$\mathcal{P}=\bigcup_{k\in \NN} \rmTIME_\rmTM(n^k)$**，所有在多项式步内计算的布尔函数的集合。
 
-**$\mathcal{EXP}=\bigcup_{k\in \mathbb{N}} \mathrm{TIME}_\mathrm{TM}\left(2^{n^k}\right)$**，所有在指数步内计算的布尔函数的集合。
+**$\mathcal{EXP}=\bigcup_{k\in \NN} \rmTIME_\rmTM\left(2^{n^k}\right)$**，所有在指数步内计算的布尔函数的集合。
 
 **$\mathcal{P} \subsetneq \mathcal{EXP}$**，后面会证明。
 
 ::fold{title="**定理**：TM 和 NAND-RAM 运行时间等价" success always expand}
-$\mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(T(n)) \subseteq \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(10\cdot T(n))) \subseteq \mathrm{TIME}_\mathrm{TM}(T(n)^4)$。
+$\rmTIME_\rmTM(T(n)) \subseteq \rmTIME_\rmRAM(10\cdot T(n))) \subseteq \rmTIME_\rmTM(T(n)^4)$。
 ::
 
-有了上面的定理，可以用 $\mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}$ 来定义 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{EXP}$：$\mathcal{P} = \bigcup_{k\in \mathbb{N}} \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(n^k)$，$\mathcal{EXP} = \bigcup_{k\in \mathbb{N}} \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}\left(2^{n^k}\right)$。可见 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{EXP}$ 与计算模型无关。
+有了上面的定理，可以用 $\rmTIME_\rmRAM$ 来定义 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{EXP}$：$\mathcal{P} = \bigcup_{k\in \NN} \rmTIME_\rmRAM(n^k)$，$\mathcal{EXP} = \bigcup_{k\in \NN} \rmTIME_\rmRAM\left(2^{n^k}\right)$。可见 $\mathcal{P}$ 和 $\mathcal{EXP}$ 与计算模型无关。
 
 回顾：Universal TM $U(M, x) = M(x)$，对应的 NAND-RAM 程序 $U(P, x) = P(x)$。
 
 可以证明，**若 $P(x)$ 在 $T(|x|)$ 步内计算，则 $U(P, x)$ 可在 $a|P|^b\cdot T(|x|)$ 步内计算**，其中 $a,b$ 是常数。（证明略）
 
 ::fold{title="**Time Hierarchy Theorem**" success always expand}
-对任意 nice function $T: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$，存在布尔函数 $F$，使得
+对任意 nice function $T: \NN \to \NN$，存在布尔函数 $F$，使得
 
 $$
-F \in \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n)\log n)\setminus\mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))
+F \in \rmTIME_\rmRAM(T(n)\log n)\setminus\rmTIME_\rmRAM(T(n))
 $$
 
 也就是说**如果允许多花 $\log n$ 的时间，就能计算出更多的函数**。
@@ -49,7 +56,7 @@ $$
 固定任意 nice function $T(n)$，定义：
 
 $$
-\mathrm{HALT}_T(P, x) =
+\rmHALT_T(P, x) =
 \begin{cases}
 1, & \text{if } |P|\leq\log\log|x|\\
 &\text{and }P \text{ halts on } x \text{ in } \leq 100T(|P|+|x|) \text{ steps}\\
@@ -61,16 +68,16 @@ $$
 
 下面我们证明：
 
-1. $\mathrm{HALT}_T \in \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n)\log n)$；
-2. $\mathrm{HALT}_T \notin \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))$。
+1. $\rmHALT_T \in \rmTIME_\rmRAM(T(n)\log n)$；
+2. $\rmHALT_T \notin \rmTIME_\rmRAM(T(n))$。
 
 :v{-1.6em}
 
 ---
 
 :v{-1.6em}
 
-**证明 $\mathrm{HALT}_T \in \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n)\log n)$**：
+**证明 $\rmHALT_T \in \rmTIME_\rmRAM(T(n)\log n)$**：
 
 ```
 1| if |P| > loglog|x|:
@@ -97,13 +104,13 @@ O(|P|^b\cdot T_0) &\leq O\left((\log\log(|P|+|x|))^b \cdot T(|P|+|x|)\right) \\
 \end{aligned}
 $$
 
-即 $\mathrm{HALT}_T \in \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n)\log n)$。
+即 $\rmHALT_T \in \rmTIME_\rmRAM(T(n)\log n)$。
 
-**证明 $\mathrm{HALT}_T \notin \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))$**：
+**证明 $\rmHALT_T \notin \rmTIME_\rmRAM(T(n))$**：
 
-思路：证明所有在 $T(n)$ 步内计算的程序 $P$，都不能计算 $\mathrm{HALT}_T$。
+思路：证明所有在 $T(n)$ 步内计算的程序 $P$，都不能计算 $\rmHALT_T$。
 
-假设 $\mathrm{HALT}_T \in \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))$，定义：
+假设 $\rmHALT_T \in \rmTIME_\rmRAM(T(n))$，定义：
 
 $$
 Q^*(z)=Q^*(P1^m)=
@@ -138,7 +145,7 @@ on input z:
 -   如果 loop 分支成立，即 $Q^*(Q^*1^m)$ 不停机，但该分支的条件是 $Q^*$ 在同样的输入下停机，因此不可能进入该分支；
 -   如果 halt 分支成立，则 $Q^*(Q^*1^m)$ 在 $2T(2|P|+m) < 100T(2|P|+m)$ 步内停机，且 $|P| < 0.1\log\log m$，满足 loop 分支的条件，应该不停机，矛盾。
 
-因此，两个分支都不可能，故 $\mathrm{HALT}_T \notin \mathrm{TIME}_\mathrm{RAM}(T(n))$。
+因此，两个分支都不可能，故 $\rmHALT_T \notin \rmTIME_\rmRAM(T(n))$。
 :::
 ::
 
@@ -148,19 +155,19 @@ on input z:
 
 **$F_{\uparrow n}$**：给定 $F:\{0,1\}^* \to \{0,1\}$，定义 $F_{\uparrow n}:\{0,1\}^n \to \{0,1\}$，其中对任意 $x \in \{0,1\}^n$，都有 $F_{\uparrow n}(x) = F(x)$。即把 $F$ 限制在长度为 $n$ 的输入上。
 
-**$F_{\uparrow n}\in\mathrm{SIZE}_n(T(n))$ if it needs at most $T(n)$ gates.**（NAND-CIRC 电路）
+**$F_{\uparrow n}\in\rmSIZE_n(T(n))$ if it needs at most $T(n)$ gates.**（NAND-CIRC 电路）
 
-**$F \in \mathrm{SIZE}(T(n))$ if for every $n$, $F_{\uparrow n} \in \mathrm{SIZE}_n(T(n))$**。即对于任意输入长度 $n$，$F$ 在该长度下都能被大小为 $T(n)$ 的电路计算出来。
+**$F \in \rmSIZE(T(n))$ if for every $n$, $F_{\uparrow n} \in \rmSIZE_n(T(n))$**。即对于任意输入长度 $n$，$F$ 在该长度下都能被大小为 $T(n)$ 的电路计算出来。
 
-::fold{title="$\mathrm{SIZE}$ 和 $\mathrm{TIME}$ 比较" always expand}
-$F\in\mathrm{SIZE}(T(n))\Longleftrightarrow\forall n, \exists$ NAND-CIRC $P, \forall x\in \{0,1\}^n, F(x)$ can be computed by $P$ in $T(n)$ lines.
+::fold{title="$\rmSIZE$ 和 $\rmTIME$ 比较" always expand}
+$F\in\rmSIZE(T(n))\Longleftrightarrow\forall n, \exists$ NAND-CIRC $P, \forall x\in \{0,1\}^n, F(x)$ can be computed by $P$ in $T(n)$ lines.
 
-$F\in\mathrm{TIME}(T(n))\Longleftrightarrow\exists$ NAND-TM $P, \forall n, \forall x\in \{0,1\}^n, F(x)$ can be computed by $P$ in $T(n)$ steps.
+$F\in\rmTIME(T(n))\Longleftrightarrow\exists$ NAND-TM $P, \forall n, \forall x\in \{0,1\}^n, F(x)$ can be computed by $P$ in $T(n)$ steps.
 
-两者只有前面两个量词顺序不同。直觉上，$\mathrm{TIME}$ 要求对所有 $n$ 找到一个通用的 $P$，而 $\mathrm{SIZE}$ 只需要对每个 $n$ 找到一个对应的 $P$ 即可，因此 $\mathrm{TIME}$ 应该要求更高。
+两者只有前面两个量词顺序不同。直觉上，$\rmTIME$ 要求对所有 $n$ 找到一个通用的 $P$，而 $\rmSIZE$ 只需要对每个 $n$ 找到一个对应的 $P$ 即可，因此 $\rmTIME$ 应该要求更高。
 ::
 
-::fold{title="**定理**：$\mathrm{TIME}$ 和 $\mathrm{SIZE}$ 的关系" success always expand}
-$\forall$ nice function $T(n)$，都有 **$\mathrm{TIME}(T(n)) \subseteq \mathrm{SIZE}(T(n)^3)$**。
+::fold{title="**定理**：$\rmTIME$ 和 $\rmSIZE$ 的关系" success always expand}
+$\forall$ nice function $T(n)$，都有 **$\rmTIME(T(n)) \subseteq \rmSIZE(T(n)^3)$**。
 
 ::