docs: add TCS lec13

Author: Xecades

docs/config.yml

@@ -13,6 +13,7 @@ nav:
                 - lec10
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                 - lec12
+                - lec13
           - rl:
                 - fundamentals
                 - value-based

docs/cs/tcs/lec13.md

@@ -0,0 +1,103 @@
+---
+title: Lecture 13
+---
+
+$\newcommand{\NN}{\mathbb{N}}$
+$\newcommand{\rmSIZE}{\mathrm{SIZE}}$
+$\newcommand{\rmTIME}{\mathrm{TIME}}$
+$\newcommand{\rmRAM}{\mathrm{RAM}}$
+$\newcommand{\rmTM}{\mathrm{TM}}$
+$\newcommand{\rmHALT}{\mathrm{HALT}}$
+$\newcommand{\Ppoly}{\mathcal{P}/\mathrm{poly}}$
+$\newcommand{\zeroone}{\{0,1\}}$
+$\newcommand{\zeroonestar}{\zeroone^*}$
+
+::fold{title="**定理**：Cook-Levin 定理" success always expand}
+**3SAT is NP-complete.**
+
+:::fold{title="证明" expand}
+3SAT $\in \mathcal{NP}$ 在上节课已经证明，接下来证明：
+
+**对于任意 $F \in \mathcal{NP}$，$F \leq_P$ 3SAT。**
+
+我们采取以下规约链条：
+
+$$
+F \leq_P \text{NANDSAT} \leq_P \text{SAT} \leq_P \text{3SAT}
+$$
+
+-   **NANDSAT:** Given a NAND-CIRC $Q$ with $n$ inputs and one output, is there an input $t \in \zeroonestar$ such that $Q(t) = 1$?
+-   **SAT:** 和 3SAT 唯一的区别是每个子句可以有任意数量的文字。
+
+---
+
+**Step 1:** $\text{NANDSAT} \leq_P \text{SAT}$
+
+例子：对于 NAND-CIRC 程序，输入 $t_1, t_2, t_3$，输出 $y$
+
+```
+temp_1 = NAND(t_1, t_2)
+temp_2 = NAND(t_2, t_3)
+y = NAND(temp_1, temp_2)
+```
+
+找到一组输入使得输出为 1，其实等价于
+
+$\newcommand{\temp}{\text{temp}}$
+$\newcommand{\NAND}{\text{NAND}}$
+
+$$
+\begin{aligned}
+&(\temp_1==\NAND(t_1, t_2)) \\
+\land& (\temp_2==\NAND(t_2, t_3)) \\
+\land& (y==\NAND(\temp_1, \temp_2)) \\
+\land& (y==1)
+\end{aligned}
+$$
+
+对于其中每一个子句 $a==\NAND(b, c)$，我们可以将其转化为 SAT 子句：
+
+$$
+\newcommand{\ba}{\bar a}
+\newcommand{\bb}{\bar b}
+\newcommand{\bc}{\bar c}
+(\ba \lor \bb \lor \bc) \land (a \lor b) \land (a \lor c)
+$$
+
+而对于 $y==1$，可以直接转换成 $y$。
+
+**Step 2:** $\text{SAT} \leq_P \text{3SAT}$
+
+对于子句 $(x_1 \lor x_2)$，转换成 $(x_1 \lor x_2 \lor y) \land (x_1 \lor x_2 \lor \bar y)$。
+
+对于子句 $(x_1 \lor x_2 \lor x_3 \lor x_4)$，转换成 $(x_1 \lor x_2 \lor y) \land (\bar y \lor x_3 \lor x_4)$。
+
+递归地做就行。
+
+**Step 3:** $F \leq_P \text{NANDSAT}$
+
+回顾 $\mathcal{NP}$ 的定义：
+
+> $\exists$ TM $V$ with polynomial running time such that for any $x \in \zeroonestar$, $F(x) = 1 \iff \exists t \in \zeroonestar$ such that $V(x, t) = 1$ and $|t| \leq |x|^a$（$a$ 是某个常数）。
+
+由于 $F \in \mathcal{NP}$，所以问 $F(x)$ 是否为 1，等价于问是否 $\exists t \in \zeroonestar$ such that $V(x, t) = 1$ and $|t| \leq |x|^a$，该形式和 NANDSAT 非常类似。
+
+$V$ 是一个图灵机，对于给定的 $x$，其输入长度 $\leq |x|+|t| \leq 2|x|^a$，且运行时间 $\leq (2|x|^a)^b = 2^b |x|^{ab}$（$b$ 是某个常数）。
+
+讲图灵机转化为 NAND-CIRC 程序的唯一问题在于**前者可以有变量长度的循环**，据说两周之前的课（lec11）讲过**如果图灵机的输入长度和运行时间都是多项式级别的，那么可以将循环展开，且展开之后也是多项式的。**
+
+因此此处能够将 $V(x, t)$ 转化为 NAND-CIRC 程序 $Q(x, t)$，由于 $x$ 给定，可以将 $x$ 的值直接写死在程序中，得到 NAND-CIRC 程序 $Q_x(t)$。
+
+从而问题转化为：是否 $\exists t \in \zeroone^{|x|^a}$ 使得 $Q_x(t) = 1$，即 NANDSAT 问题，完成规约。
+:::
+::
+
+**证明 $F$ 是 $\mathcal{NP}$ 完全的：** (1) 证明 $F \in \mathcal{NP}$；(2) 证明 $\text{3SAT} \leq_P F$。
+
+**Subset Sum is NP-complete.**
+
+::fold{title="Independent Set problem" always expand}
+给定一个无向图 $G=(V,E)$ 和整数 $k$，问是否存在 $S \subseteq V$，使得 $|S| \geq k$，且对于任意 $u,v \in S$，$(u,v) \notin E$。（即 $S$ 中的任意两个顶点都不相邻）
+
+（课上详细证明了 IS 是 $\mathcal{NP}$ 完全的，通过规约 3SAT $\leq_P$ IS，这里略过。）
+::