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1 | | -#import "../utils.typ":ee |
2 | | -+ $integral x^a dif x=1/(a+1)x^(a+1)+C quad (a!=1)$ |
| 1 | +#import "../math.typ":* |
| 2 | +== 基本积分表 |
| 3 | +以下基本积分是读者应知应会的。其中标红色者为重中之重，必背。 |
| 4 | ++ $integral x^a dif x=1/(a+1)x^(a+1)+C space (a!=1)$ |
3 | 5 | + $integral 1/x dif x=log abs(x)+C$ |
4 | 6 | + $integral ee^x dif x=ee^x+C$ |
| 7 | ++ $integral a^x dif x=1/(log a) a^x+C$ |
| 8 | ++ $integral sin x dif x=-cos x+C$ |
| 9 | ++ $integral cos x dif x=sin x+C$ |
| 10 | ++ $integral csc^2x dif x=-cot x+C$ |
| 11 | ++ $integral sec^2x dif x=tan x+C$ |
| 12 | ++ $integral tan x sec x dif x=sec x+C$ |
| 13 | ++ $integral cot x csc x dif x=-csc x+C$ |
| 14 | ++ $integral tan x dif x=-log abs(cos x)+C$ |
| 15 | ++ $integral cot x dif x=log abs(sin x)+C$ |
| 16 | ++ $integral csc x dif x=log abs(tan x/2)+C=-artanh cos x+C$ |
| 17 | ++ $integral sec x dif x=log abs(tan(x/2+pi/4))+C=log abs(sec x+tan x)+C=artanh sin x+C$ |
| 18 | ++ $integral (dif x)/(1+x^2)=arctan x+C=-arccot x+C_1$ |
| 19 | ++ $integral (dif x)/(1-x^2)=artanh x+C=1/2 log abs((1+x)/(1-x))+C$ |
| 20 | ++ $integral (dif x)/sqrt(x^2+1)=arsinh x+C=log(x+sqrt(x^2+1))+C$ |
| 21 | ++ $integral (dif x)/sqrt(x^2-1)=arcosh abs(x) sgn x+C=log abs(x+sqrt(x^2-1))+C$ |
| 22 | +== 常用恒等变换 |
| 23 | +以下恒等变换常见于各类积分问题中，足以帮助读者解决绝大多数问题。对于标蓝色者，建议读者记忆；对于其它变换，也建议读者能够熟练推导。 |
| 24 | ++ $sqrt(x^2)=abs(x)=x sgn x$ |
| 25 | ++ $x=abs(x) sgn x$ |
| 26 | ++ $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$ |
| 27 | ++ $x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$ |
| 28 | ++ $sin^2x+cos^2x=sec^2x-tan^2x=csc^2x-cot^2x=1$ |
| 29 | ++ $sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b$ |
| 30 | ++ $sin(a-b)=sin a cos b-cos a sin b$ |
| 31 | ++ $cos(a+b)=cos a cos b-sin a sin b$ |
| 32 | ++ $cos(a-b)=cos a cos b+sin a sin b$ |
| 33 | ++ $sin 2x=2sin x cos x=(2tan x)/(tan^2x+1)$ |
| 34 | ++ $cos 2x=cos^2x-sin^2x=1-2sin^2x=2cos^2x-1=(1-tan^2x)/(1+tan^2x)$ |
| 35 | ++ $a sin x+b cos x=sqrt(a^2+b^2)sin(x+arctan b/a) space (a>0)$ |
| 36 | ++ $1+sin x=(sin x/2+cos x/2)^2$ |
| 37 | ++ $1-sin x=(sin x/2-cos x/2)^2$ |
| 38 | ++ $1+cos x=2cos^2x/2$ |
| 39 | ++ $1-cos x=2sin^2x/2$ |
| 40 | ++ $sin^2x=(1-cos 2x)/2$ |
| 41 | ++ $cos^2x=(1+cos 2x)/2$ |
| 42 | ++ $sin a cos b=(sin(a+b)+sin(a-b))/2$ |
| 43 | ++ $cos a sin b=(sin(a+b)-sin(a-b))/2$ |
| 44 | ++ $cos a cos b=(cos(a+b)+cos(a-b))/2$ |
| 45 | ++ $sin a sin b=(cos(a+b)-cos(a-b))/2$ |
| 46 | ++ $sin a+sin b=2sin (a+b)/2 cos (a-b)/2$ |
| 47 | ++ $sin a-sin b=2cos (a+b)/2 sin (a-b)/2$ |
| 48 | ++ $cos a+cos b=2cos (a+b)/2 cos (a-b)/2$ |
| 49 | ++ $cos a-cos b=-2sin (a+b)/2 sin (a-b)/2$ |
| 50 | ++ $sin x cos x=((sin x+cos x)^2-1)/2=(1-(sin x+cos x)^2)/2$ |
| 51 | ++ $(a sin x+b cos x)^2+(b sin x-a cos x)^2=a^2+b^2$ |
| 52 | +== 通题通解 |
| 53 | +我们知道，有些形式的积分是必定有解的。在研究一个积分时，我们只需要把原积分化成诸如此的形式，知道它们必定有解足矣。但它们的原函数究竟是多少，我们可不想反复应用那些熟知又麻烦的通法了。#parbreak() |
| 54 | +下面的几个积分是对基本积分表的扩充。你不必记忆，但应当掌握它们的解法。 |
| 55 | ++ 记$Y=a x^2+b x+c space(a!=0), Delta=b^2-4a c, x_1, x_2=(-b plus.minus sqrt(Delta))/(2a)$，则$ |
| 56 | + integral (dif x)/Y=cases( |
| 57 | + 2/sqrt(-Delta)arctan Y'/sqrt(-Delta)+C\,&Delta<0\,, |
| 58 | + -1/(a x+b)+C\,&Delta=0\,, |
| 59 | + 1/(a(x_1-x_2))log abs((x-x_1)/(x-x_2))+C\,&Delta>0. |
| 60 | + ) |
| 61 | +$ |
| 62 | ++ 记$Y=a x^2+b x+c space(a!=0), Delta=b^2-4a c, x_1, x_2=(-b plus.minus sqrt(Delta))/(2a)$，则$ |
| 63 | + integral (dif x)/sqrt(Y)=cases( |
| 64 | + 1/sqrt(a)log abs(Y'+2sqrt(a Y))+C\,a>0\,, |
| 65 | + 1/sqrt(-a)arcsin (-Y')/sqrt(Delta)+C\,a<0. |
| 66 | + ) |
| 67 | +$ |
| 68 | ++ $integral (dif x)/(a x^n+b)^((n+1)/n)=x/(b root(n,a x^n+b))+C space(n in NN_+)$ |
| 69 | +== 常见的非初等积分 |
| 70 | +以下积分的原函数是非初等函数。当它们单独存在时，我们不可能得到初等函数的结果。话虽如此，我们仍有可能通过应用分部积分法，抵消两个非初等积分并得到初等函数的结果。 |
| 71 | ++ $integral (sin x)/x dif x=op("Si")(x)+C$ |
| 72 | ++ $integral (cos x)/x dif x=op("Ci")(x)+C$ |
| 73 | ++ $integral (sinh x)/x dif x=op("Shi")(x)+C$ |
| 74 | ++ $integral (cosh x)/x dif x=op("Chi")(x)+C$ |
| 75 | ++ $integral (ee^x)/x dif x=op("Ei")(x)+C$ |
| 76 | ++ $integral (dif x)/(log x)=op("li")(x)+C$ |
| 77 | ++ $integral sin x^2 dif x=sqrt(pi/2)S(sqrt(2/pi)x)+C$ |
| 78 | ++ $integral cos x^2 dif x=sqrt(pi/2)C(sqrt(2/pi)x)+C_1$#text(fill:gray)[注#footnote[这里的$C$是菲涅耳积分函数，而$C_1$是任意常数。]] |
| 79 | ++ $integral ee^x^2 dif x=sqrt(pi)/2op("erfi")(x)+C$ |
| 80 | ++ $integral_0^phi (dif theta)/sqrt(1-k^2sin^2theta)=F(sin phi;k)$ |
| 81 | ++ $integral_0_x (dif t)/sqrt((1-t^2)(1-k^2t^2))=F(x;k)$ |
| 82 | ++ $integral_0_phi sqrt(1-k^2sin^2theta)dif theta=E(phi;k)$ |
| 83 | ++ $integral_0^x sqrt(1-k^2t^2)/sqrt(1-t^2)dif t=E(x;k)$ |
| 84 | ++ $integral_0^phi t^(p-1)(1-t)^(q-1)dif t=B(x;p,q)$ |
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