Skip to content

05_PMF_Probability Mass Function.md

Latest commit

 

History

History
110 lines (65 loc) · 6.78 KB

05_PMF_Probability Mass Function.md

File metadata and controls

110 lines (65 loc) · 6.78 KB

Probability Mass Function (PMF)

image image image image

Kaynaklar (Resources)

Olasılık Kütle Fonksiyonu (Probability Mass Function - PMF)

PMF, ayrık olasılık dağılımlarının (Discrete Probability Distributions) kalbidir. Bir rastgele değişkenin ($X$), olası bir $x$ değerini alma olasılığını tanımlayan fonksiyondur ve genellikle $P(X=x)$ veya $f(x)$ olarak gösterilir.

Bir fonksiyonun geçerli bir PMF (Olasılık Kütle Fonksiyonu) sayılabilmesi için, olasılık teorisinin temel aksiyomlarından (axioms) gelen üç temel formel gereksinimi (formal requirements) karşılaması gerekir.

1. PMF'nin Formel Tanımı

Tanım: Bir ayrık rastgele değişken $X$ için, Olasılık Kütle Fonksiyonu ($f(x)$ veya $P(X=x)$), $X$'in alabileceği her bir $x$ değeri için $P(X=x)$ olasılığını veren fonksiyondur.

2. PMF'nin Formel Gereksinimleri (Formal Requirements)

Gereksinim 1: Negatif Olmama Koşulu (Non-negativity)

Hiçbir olayın olasılığı sıfırın altında olamaz.

  • Tanım: Olasılık Kütle Fonksiyonu'nun alabileceği tüm değerler sıfıra eşit veya sıfırdan büyük olmalıdır.
  • Formel Gösterim: $$\mathbf{f(x) \ge 0}$$ (Tüm $x$ değerleri için)

Gereksinim 2: Toplamın Bir Olması Koşulu (Summation to Unity)

Rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerlerin olasılıkları toplandığında, bu toplam kesinlikle $1$'e eşit olmalıdır. (Evrensel örneklem uzayının (sample space) olasılığı $100%$ olduğu anlamına gelir.)

  • Tanım: Rastgele değişkenin ($X$) alabileceği tüm $x$ değerleri üzerindeki olasılıkların toplamı $1$ olmalıdır.
  • Formel Gösterim: $$\mathbf{\sum_{x} f(x) = 1}$$ (Buradaki $\sum_{x}$ ifadesi, $X$'in alabileceği tüm $x$ değerleri üzerindeki toplamı temsil eder.)

Gereksinim 3: Tanımlı Değerler Dışında Sıfır Olması Koşulu (Defined only for Countable Values)

PMF, sadece rastgele değişkenin alabileceği ayrık ve sayılabilir değerler için bir olasılık atar; bu değerler dışındaki tüm değerler için olasılık sıfırdır.

  • Tanım: Eğer bir $x$ değeri, rastgele değişken $X$'in alabileceği olası değerler kümesine ait değilse ($x \notin X$), bu değeri alma olasılığı sıfırdır.

  • Formel Gösterim: $$\mathbf{f(x) = 0}$$ (Eğer $x$ değeri, $X$'in değer kümesine ait değilse.)

    Olasılık Kütle Fonksiyonu (PMF) Gereksinimleri Özeti

PMF'nin (Probability Mass Function) bir fonksiyon sayılabilmesi için karşılaması gereken üç temel koşul.

Gereksinim İngilizce Karşılığı Açıklama Formel Gösterim
1. Negatif Olmama Non-negativity Hiçbir olasılık negatif olamaz. $$\mathbf{f(x) \ge 0}$$
2. Toplamın Bir Olması Summation to Unity Tüm olası ayrık sonuçların olasılıklarının toplamı 1'dir. $$\mathbf{\sum_{x} f(x) = 1}$$
3. Tanımlı Küme Dışı Defined only for $X$'s values Rastgele değişkenin almadığı değerler için olasılık $0$'dır. $$\mathbf{f(x) = 0 \quad (\text{eğer } x \notin X)}$$
  • Bu gereksinimler, zar atma, yazı tura atma veya arızalı ürün sayısını modelleme gibi tüm ayrık olayların matematiksel olarak tutarlı bir şekilde temsil edilmesini sağlar.

Dağılım ve Fonksiyon Farkı

  • Poisson, Binomial ve Geometrik, olasılık olaylarını modelleyen Dağılım türleridir.

  • PMF (Olasılık Kütle Fonksiyonu) ve CDF (Kümülatif Dağılım Fonksiyonu) ise bu dağılımları matematiksel olarak tanımlayan Fonksiyonlardır (araçlardır).

Olasılık Kavramlarının Rolleri: Bir Analoji (Dağılım, PMF, CDF)

Bu tablo, Olasılık Dağılımı, PMF ve CDF arasındaki ilişkileri bir yemek tarifi analojisiyle netleştirmektedir.

Kavram İngilizce Karşılığı Rolü (Yemek Analojisi) Açıklama
Dağılım Distribution Tarif Kitabı 📖 Olası sonuçların listesi ve bu sonuçların oluşma kurallarını belirleyen genel matematiksel model.
PMF Probability Mass Function Malzeme Listesi/Teknik Adımlar 🧾 Dağılımın kuralına göre, tam olarak tek bir sonuca ulaşma olasılığını hesaplayan fonksiyon.
CDF Cumulative Distribution Function Toplam Porsiyon Sayısı 📈 Belirli bir değere (veya ona kadar olan) tüm sonuçların olasılıklarını toplayarak (biriktirerek), o ana kadarki kümülatif olasılığı hesaplayan fonksiyon.

Ayrık Dağılımların PMF ve CDF Karşılaştırması

Bu tablo, temel ayrık olasılık dağılımlarının PMF (Olasılık Kütle Fonksiyonu) ve CDF (Kümülatif Dağılım Fonksiyonu) ile olan somut ilişkisini göstermektedir.

Dağılım Adı PMF Ne İşe Yarar? (Tek Bir Değer) CDF Ne İşe Yarar? (Kümülatif Değer)
Bernoulli ($p$) Tek bir denemede tam olarak 1 başarı olasılığını ($p$) veya tam olarak 0 başarı olasılığını ($1-p$) verir. Olasılığın $0$'dan $1$'e yükselişini gösterir. $P(X \le 0)$ ve $P(X \le 1)$'i verir.
Binomial ($n, p$) $n$ denemede tam olarak $k$ tane başarı olma olasılığını ($P(X = k)$) hesaplar. $n$ denemede $k$ veya daha az başarı olma olasılığını ($P(X \le k)$) hesaplar.
Poisson ($\lambda$) Sabit bir aralıkta tam olarak $k$ tane olay gerçekleşme olasılığını ($P(X = k)$) hesaplar. Sabit bir aralıkta $k$ veya daha az olay gerçekleşme olasılığını ($P(X \le k)$) hesaplar.
Geometrik ($p$) Tam olarak $k$. denemede ilk başarıyı elde etme olasılığını ($P(X = k)$) hesaplar. $k$ veya daha az denemede ilk başarıyı elde etme olasılığını ($P(X \le k)$) hesaplar.

Probability Mass Function (PMF) - Vikipedi (Ayrıntılı Teknik Bilgi)

image image