Skip to content

06_CDF_Cumulative Distribution Function.md

Latest commit

 

History

History
59 lines (35 loc) · 3.06 KB

06_CDF_Cumulative Distribution Function.md

File metadata and controls

59 lines (35 loc) · 3.06 KB

Cumulative Distribution Function ( CDF)

image image image image

Olasılık Problemlerine Yaklaşım: 3 Adımlı Plan

Adım Amaç Hesaplama Aracı
1. Rastgele Değişkeni Tanımlama Değişkenin alabileceği tüm olası ayrık değerleri listeleriz. Bu, örneklem uzayını ($X$) sayısal olarak sınırlar. Mantıksal Çıkarım
2. PMF'yi Hesaplama Her bir ayrık değerin tam olarak gerçekleşme olasılığını buluruz. Bu, problemin neden-sonuç ilişkisini kurar. Olasılık (Seçim Kuralları)
3. CDF'yi Hesaplama PMF değerlerini toplayarak kümülatif (birikimli) olasılıkları buluruz. Bu, olasılıkların bir eşiği aşmama durumunu gösterir. Toplama (PMF'lerin Toplamı)

Kümülatif Dağılım Fonksiyonu (Cumulative Distribution Function - CDF) Nedir?

CDF, $F(x)$ olarak gösterilir ve Olasılık Kütle Fonksiyonu'nun (PMF) yaptığı gibi tek bir değeri hesaplamak yerine, birikimli (kümülatif) olasılığı hesaplamak için kullanılır.

Temel Amaç: Kümülatif Olasılık

CDF'nin temel amacı, bir rastgele değişkenin ($X$) belirli bir $x$ değerine eşit veya ondan küçük olma olasılığını bulmaktır.

  • Matematiksel Gösterim: $$\mathbf{F(x) = P(X \le x)}$$

Ayrık Değişkenlerde CDF'nin Çalışma Prensibi

Ayrık bir rastgele değişken için CDF, PMF değerlerinin bir toplamıdır. Belirli bir $x$ değerindeki CDF, o noktaya kadar olan tüm PMF değerlerinin toplanmasıyla elde edilir.

  • Formel Bağlantı: $$\mathbf{F(x) = \sum_{t \le x} f(t)}$$ (Burada $f(t)$, $X$'in alabileceği tüm $t$ değerleri üzerindeki PMF'yi temsil eder.)

    CDF Neden Önemlidir? (PMF ile Farkı)

Fonksiyon Olasılığı Hesapladığı Aralık Amacı
PMF ($f(x)$) Tam olarak $x$ değeri Bir olayın tam olarak o sonucu vermesi olasılığı. ($P(X = x)$)
CDF ($F(x)$) $x$ değerine kadar olan tüm değerler Olası sonuçların belirli bir eşiği aşmama olasılığı. ($P(X \le x)$)

Örnek (Binomial Dağılım)

Binomial dağılımda $P(X \le 3)$ ifadesini hesaplamak istediğimizde (yani 10 denemede 3 veya daha az başarı), CDF aslında bu tek tek olasılıkları toplar:

$$\mathbf{F(3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3)}$$

Çıkarım: Bu, CDF'nin Toplam Porsiyon Sayısı analojisine karşılık geldiğini açıklar. CDF bize "Şimdiye kadar kaç başarı (veya arıza, veya çağrı) görme olasılığımız nedir?" sorusunun cevabını verir.