08_Common Discrete Distributions.md

ORTAK AYRIK OLASILIK DAĞILIMLARI ÜZERİNE KAPSAMLI VE KARŞILAŞTIRMA

(COMPREHENSIVE AND COMPARATIVE EXPERT REPORT ON COMMON DISCRETE PROBABILITY DISTRIBUTIONS)

---

Kısım I: Giriş ve Teorik Temeller (Introduction and Theoretical Foundations)

1.1. Tanım ve Kapsam: Ayrık Olasılık Dağılımları

Ayrık Olasılık Dağılımları, sonuçları sayılabilir (countable) bir kümeden gelen rastgele değişkenleri (Random Variables) modellemek için kullanılır. Bu sonuçlar genellikle tam sayılardır (örn: bir madeni paranın iki kez atılmasında Tura gelme sayısı X = {0, 1, 2}). Bu yapı, ayrık dağılımları, sayım verilerinin (count data) analizinde temel araç haline getirir.

Sürekli dağılımların aksine, ayrık dağılımlarda her bir spesifik sonuç için net bir olasılık atanır.

1.2. Matematiksel Çerçeve: PMF, Beklenen Değer ve Varyans

Ayrık rastgele değişkenlerin tanımlanmasında kullanılan temel fonksiyon, Olasılık Kütle Fonksiyonu (Probability Mass Function - PMF) olarak adlandırılır. PMF, $P(X=x)$, rastgele değişken X'in tam olarak belirli bir $x$ değerini alma olasılığını verir.

Kritik Koşul: Rastgele değişkenin alabileceği tüm olası değerler kümesi üzerindeki PMF değerlerinin toplamının kesinlikle 1'e eşit olması gerekir.

• Beklenen Değer (Expected Value - μ): Rastgele değişkenin uzun vadede alması beklenen ortalama değerdir. Merkezi eğilimin temel ölçüsüdür.
• Varyans (Variance - $\sigma^2$): Rastgele değişkenin beklenen değer etrafında ne kadar yayıldığının (belirsizlik veya risk) bir ölçüsüdür. Karekökü Standart Sapmayı verir.

---

Kısım II: Temel Ayrık Dağılımların Matematiksel Anatomisi (Mathematical Anatomy of Key Discrete Distributions)

2.1. Bernoulli Dağılımı (Bernoulli Distribution)

Tek bir denemenin sonucunu (Başarı=1, Başarısızlık=0) modeller.

Parametre	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)
$p$ (Başarı olasılığı)	$P(X=x) = p^x(1-p)^{1-x}$, $x \in {0,1}$	$p$	$p(1-p)$

2.2. Binom Dağılımı (Binomial Distribution)

Sabit sayıda ($n$) bağımsız ve özdeş Bernoulli denemesinin tekrarında elde edilen başarılı sonuç sayısını ($k$) modeller.

Parametreler	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)
$n$ (Deneme Sayısı), $p$ (Başarı Olasılığı)	$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$

2.3. Geometrik Dağılım (Geometric Distribution)

Bir Bernoulli sürecinde ilk başarının elde edilmesi için gereken toplam deneme sayısını ($k$) modeller.

Parametre	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)
$p$ (Başarı Olasılığı)	$P(X=k) = (1-p)^{k-1}p$	$1/p$	$(1-p)/p^2$

• Temel Özellik: Ayrık alandaki tek "hafızasız" (memoryless) dağılımdır.

2.4. Hipergeometrik Dağılım (Hypergeometric Distribution)

Binom'un aksine, örnekleme işlemi yedeklemesiz (without replacement) yapılır, bu nedenle denemeler bağımlıdır.

Parametreler	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)
$N$ (Pop. Büyüklüğü), $m$ (İlgi Öğesi), $n$ (Örneklem)	$P(X=k) = \frac{\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$n \frac{m}{N}$	$n \frac{m}{N} \frac{N-m}{N} \frac{N-n}{N-1}$

• Özellik: Varyans formülündeki $\frac{N-n}{N-1}$ terimi, Sonlu Popülasyon Düzeltme Faktörü olarak bilinir.

2.5. Poisson Dağılımı (Poisson Distribution)

Belirli bir zaman aralığında veya mekanda meydana gelen nadir olayların sayısını ($k$) modellemek için kullanılır.

Parametre	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)
$\lambda$ (Ortalama Olay Oranı)	$P(X=k) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$

• Ayırt Edici Özellik: Beklenen Değer ($\mu$) ve Varyans ($\sigma^2$) birbirine eşittir ($\mu = \sigma^2 = \lambda$).
• Aşırı Yayılım (Overdispersion): Gerçek veride $\sigma^2 > \mu$ ise, Poisson varsayımlarının (bağımsızlık, sabit oran) ihlal edildiği ve Negatif Binom gibi modellere geçilmesi gerektiği anlaşılır.

---

Kısım III: Tarihsel Gelişim ve Kronolojik Sıralama

Dağılım (Distribution)	Kurucu (Founder)	Ana Eser (Key Publication)	Yayım Yılı (Publication Year)	Kronolojik Sıra (Order)
Bernoulli / Binom	Jacob Bernoulli	Ars Conjectandi	1713	1. (Temel)
Poisson	Siméon Denis Poisson	Recherches sur la probabilité des jugements...	1837	2.
Hipergeometrik	(Teorik Gelişim)	(Örnekleme Teorisi Kaynakları)	19. Yüzyıl Başları	3.

---

Kısım IV: Karşılaştırmalı Analiz ve Dağılımlar Arasındaki İlişkiler

4.1. Bağımlılık ve Örnekleme Metodu: Binom vs. Hipergeometrik

Kriter	Binom Dağılımı	Hipergeometrik Dağılım
Örnekleme	Yedeklemeli (With Replacement)	Yedeklemesiz (Without Replacement)
Bağımlılık	Bağımsız Denemeler	Bağımlı Denemeler
Kullanım Zorunluluğu	$n/N$ oranı küçükse	$n/N > 0.05$ ise (Sonlu Popülasyon)
Varyans Etkisi	Daha yüksek risk/belirsizlik tahmini	FPC Faktörü nedeniyle daha düşük varyans ve gerçekçi tahmin

4.2. Yoğunluk ve Nadir Olaylar: Binom vs. Poisson

• İlişki: Poisson, Binom dağılımının bir limit durumudur.
• Yakınsama Koşulları: Deneme sayısı $n \rightarrow \infty$, başarı olasılığı $p \rightarrow 0$ iken, ortalama olay oranı $\lambda = np$ sabit kalır.
• Üstünlük: Sonsuz potansiyel denemenin olduğu (nadir olaylar) ve olay oranının ($\lambda$) sabit olduğu durumlarda Poisson daha basit ve uygundur.

4.3. Tekrarlama Yapısı: Binom, Geometrik ve Negatif Binom

• Binom: Sabit $n$ denemesi içindeki başarı sayısını sayar.
• Geometrik: İlk başarıya ulaşana kadar gereken toplam deneme sayısını sayar. (Negatif Binom'un $r=1$ özel hali)
• Negatif Binom: $r$ sayıda başarı elde edilene kadar geçen toplam deneme sayısını sayar.

Ortak Ayrık Dağılımların Karşılaştırmalı Matematiksel Özellikleri

Dağılım	Parametreler	PMF	Beklenen Değer ($\mu$)	Varyans ($\sigma^2$)	Temel Varsayım
Bernoulli	$p$	$p^x(1-p)^{1-x}$	$p$	$p(1-p)$	Tek Bağımsız Deneme
Binom	$n, p$	$\binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$	Sabit $n$ Deneme, Bağımsızlık
Geometrik	$p$	$(1-p)^{k-1}p$	$1/p$	$(1-p)/p^2$	İlk Başarıya Kadar Geçen Deneme, Bağımsızlık
Poisson	$\lambda$	$\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$	$\lambda$	$\lambda$	Bağımsız Olaylar, Sabit Oran $\lambda$
Hipergeo.	$N, m, n$	$\frac{\binom{m}{k}\binom{N-m}{n-k}}{\binom{N}{n}}$	$n \frac{m}{N}$	$n \frac{m}{N} \frac{N-m}{N} \frac{N-n}{N-1}$	Yedeklemesiz Örnekleme, Bağımlılık

---

Kısım VI: Sonuç ve Uzman Önerileri

6.1. Model Seçiminde Kritik Faktörler ve Uzmanlık Önerileri

1. Bağımlılık ve Örnekleme Mekanizması Kontrolü:
   • Eğer $N$ sonluysa ve $n/N > 0.05$ ise, Hipergeometrik dağılım kullanmak zorunludur. Yanlış model seçimi (Binom) risk tahminlerinin hatalı olmasına yol açar.
2. Varyansın Ortalama İle Karşılaştırılması (Aşırı Yayılım Analizi):
   • Poisson varsayımı $\mu = \sigma^2$'dır. Eğer verilerde $\sigma^2 > \mu$ (Aşırı Yayılım) gözlemlenirse, Poisson varsayımları ihlal edilmiştir; Negatif Binom gibi daha esnek dağılımlara geçiş yapılmalıdır.
3. Yaklaşım Koşullarının Doğrulanması (Konverjans):
   • Binom'dan Poisson'a geçiş yapmadan önce $n$ yeterince büyük ve $p$ yeterince küçük (nadir olay) koşullarının sağlandığından emin olun.

---

Common Discrete Distributions

• The Python code snippets illustrate how to compute and visualise these distributions using scipy.stats.

• Colab Notebook: Common Discrete Distributions (Google Colab)

---