A2 2022

Author: maxbiostat

provas/PDF/A22022_solucoes.pdf

@@ -0,0 +1,28 @@
+\textcolor{red}{\textbf{Conceitos trabalhados}: função poder; tamanho.}
+\textcolor{purple}{\textbf{Nível de dificuldade}: fácil.}\\
+\textcolor{blue}{
+\textbf{Resolução:}
+Para responder a), vamos lembrar que a função poder $\pi(\theta \mid \delta_c) = P_\theta\left(\textrm{Rejeitar}\: H_0\right)$.
+Sendo assim, temos
+\begin{align*}
+    \pi(\theta \mid \delta_c) &= P_\theta\left(S \geq c\right),\\
+    &= 1 - P_\theta(S < c),\\
+    &= 1 - F_S\left(c; n, \theta \right),
+\end{align*}
+onde $F_S\left(x; a, b\right)$ é a f.d.a. de uma distribuição Gama com forma $a$ e taxa $b$ avaliada em $x \in \mathbb{R}$. 
+Agora precisamos mostrar que $\pi(\theta \mid \delta_c)$ é não descrescente em $\theta$ de modo a responder b).
+Usando a dica, sabemos que 
+\begin{equation*}
+    \pi(\theta \mid \delta_c) = 1 - e^{-c/\theta}\sum_{j = k}^\infty \frac{1}{j!}\left(\frac{c}{\theta}\right)^j,
+\end{equation*}
+de modo que $\frac{\partial}{\partial \theta}\pi(\theta \mid \delta_c) \geq 0$.
+Outro bom argumento é esboçar o gráfico da função poder e mostrar que ela não pode decrescer.
+O tamanho de $\delta_c$ é dado por
+\begin{equation*}
+    \alpha_0 := \sup_{\theta \in \Theta_0} \pi(\theta \mid \delta_c).
+\end{equation*}
+Como a função poder é não descrescente, temos que $\alpha_0 = \pi(\theta_0 \mid \delta_c)$, respondendo c).
+Em d), temos que o teste de fato é não-viesado, pois a função poder é não descrescente em $\theta$, de modo que para todo par $\theta \in \Theta \setminus \Theta_0$ e $\theta^\prime \in \Theta_0$ temos que $\pi(\theta^\prime \mid \theta) \leq \pi(\theta \mid \theta)$.
+$\blacksquare$\\
+\textbf{Comentário:} Esta é uma questão parecida com a Q1 da A2 de 2020, mas neste caso Ivo mede os tempos entre as quedas dos poemas. Uma questão simples e conceitual para esquentar os músculos.
+}

provas/src/A2_2022_sol1.tex

@@ -0,0 +1,65 @@
+\textcolor{red}{\textbf{Conceitos trabalhados}: quantidade pivotal; intervalo de confiança; equivalência entre ICs e testes.}
+\textcolor{purple}{\textbf{Nível de dificuldade}: fácil.}\\
+\textcolor{blue}{
+\textbf{Resolução:}
+Existem várias respostas possíveis para a), algumas mais úteis (para os itens subsequentes) que outras.
+Por exemplo,
+\begin{equation*}
+    W_n := \bar{X}_n - \theta 
+\end{equation*}
+é pivotal, com distribuição Normal com média $0$ e variância $\sigma^2/n$.
+Uma escolha um pouco mais sábia é 
+\begin{equation*}
+    Z_n := \sqrt{n}\frac{\left(\bar{X}_n - \theta\right)}{\sigma},
+\end{equation*}
+que tem distribuição normal-padrão.
+Para responder b), temos, mais uma vez, algumas opções: podemos construir intervalos unilaterais ou bilaterais.
+A partir de $Z_n$, podemos construir um intervalo de confiança conseguimos construir intervalos usando a normal-padrão. 
+Para um intervalo unilateral, podemos escolher $c_U = \Phi^{-1}(0.05)$ e fazer
+\begin{equation*}
+    I_1(\bX_n) = \left(-\infty, \bar{X}_n + |c_U|\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),
+\end{equation*}
+ou
+\begin{equation*}
+    I_2(\bX_n) = \left(\bar{X}_n - |c_U|\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \infty\right).
+\end{equation*}
+Para construir um intervalo bilateral, fazemos $c_B = \Phi^{-1}(0.025)$ e então
+\begin{equation*}
+    I_3(\bX_n) = \left(\bar{X}_n - |c_B|\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{X}_n + |c_B|\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right),
+\end{equation*}
+é um intervalo com a cobertura desejada.
+A resposta de c) é sim: podemos, por exemplo, usar $I_2(\bX_n)$ e desenhar um teste da forma
+\begin{equation*}
+    \delta_2 =
+    \begin{cases}
+    \textrm{Rejeitar}\: H_0, \: \textrm{se}\: \theta_0 \in I_2(\bX_n),\\
+    \textrm{Falhar em rejeitar}\: H_0 \: \textrm{caso contrário}.
+    \end{cases}
+\end{equation*}
+Este teste tem tamanho $\alpha$ e é não-viesado.
+Se não soubéssemos o valor de $\sigma^2$, poderíamos construir a quantidade pivotal
+\begin{equation*}
+    Q_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X}_n - \theta_0}{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}}},
+\end{equation*}
+que tem distribuição t de Student com $n-1$ graus de liberdade.
+Isso nos leva a um novo intervalo da forma
+\begin{equation*}
+    I_4(\bX_n) = \left(\bar{X}_n - |t_U|\frac{\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}_n)^2}{n-1}}}{\sqrt{n}}, \infty\right),
+\end{equation*}
+onde $t_U$ é o quantil $\alpha$ de uma t de Student com $n-1$ graus liberdade.
+Com $I_4$ em mãos, desenhamos um teste como anteriormente:
+\begin{equation*}
+    \delta_4 =
+    \begin{cases}
+    \textrm{Rejeitar}\: H_0, \: \textrm{se}\: \theta_0 \in I_4(\bX_n),\\
+    \textrm{Falhar em rejeitar}\: H_0 \: \textrm{caso contrário}.
+    \end{cases}
+\end{equation*}
+A resposta de e) tem a ver com aceitar $H_0$ quando ela é falsa, isto é, quando $\theta > \theta_0$.
+Este é um erro do tipo II e acontece com probabilidade $1-\pi(\theta \mid \delta_4) = 0.975$.
+No mesmo ímpeto, poderiámos responder f) dizendo que é possível construir testes onde o erro do tipo II fica controlado.
+A consequência é, em geral, que a taxa de erro do tipo I (falsos positivos) tende a aumentar.
+$\blacksquare$\\
+\textbf{Comentário:} Esta questão é bem conceitual e procura testar os conhecimentos sobre testes no caso normal.
+Havia várias maneiras de responder corretamente às questões.
+}

provas/src/A2_2022_sol2.tex

@@ -0,0 +1,45 @@
+\textcolor{red}{\textbf{Conceitos trabalhados}: Regressão linear; desenho experimental; quantidades derivadas.}\\ \textcolor{purple}{\textbf{Nível de dificuldade}: médio.}\\
+\textcolor{blue}{
+\textbf{Resolução:}
+Para resolver a) vamos perceber que quando substituímos a covariável original $X$ por $X^\prime = X-\bar{x}$ temos $\bar{x}^\prime = 0$ e portanto $\operatorname{Cov}\left(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1} \right)  = -\frac{\bar{x}^\prime \sigma^2}{s_x^2} = 0$.
+Para afirmarmos que $\hat{\beta_0}$ e $\hat{\beta_1}$ são independentes é  preciso lembrar que estes estimadores têm distribuição conjunta Normal bivariada; quando a covariância é zero, sabemos que são independentes.
+A resposta de b) pode ser deduzida ao lembrar que no caso centrado, a variância de $\hat{\beta_0}$ é $\sigma^2/n$. 
+Desta forma, precisamos apenas encontrar $n$ tal que $\sigma^2/n < v$, isto é $n > \sigma^2/v$.
+Como sabemos que os estimadores dos coeficientes são não-viesados, podemos encontrar $\hat{\theta} = a\hat{\beta_0} + b\hat{\beta_1} +c$ como nosso estimador não-viesado de $\theta$.
+O EQM de tal estimador é a sua variância:
+\begin{align*}
+ E[(\hat{\theta}-\theta)^2] &= \vr(\hat{\theta}) = a^2 \vr(\hat{\beta_0}) + b^2\vr(\hat{\beta_1}) -ab \operatorname{Cov}(\hat{\beta_0}, \hat{\beta_1}),\\
+ &=  a^2 \sigma^2 \left( \frac{1}{n} + \frac{\bar{x}^2}{s_x^2} \right) + b^2\frac{\sigma^2}{s_x^2} + ab \frac{\bar{x}\sigma^2}{s_x^2},\\
+ &= \sigma^2 \left(\frac{a^2}{n} + \frac{a^2\bar{x}^2}{s_x^2} + \frac{b^2}{s_x^2} + \frac{ab\bar{x}}{s_x^2}\right).
+\end{align*}
+Por fim, vamos responder d).
+Note que a expressão necessária aqui é a do intervalo de predição:
+\begin{equation*}
+ \hat{Y} \pm  c(n, \alpha_0)\cdot\hat{\sigma}_r^\prime \cdot \sqrt{\left[ 1+ \frac{1}{n} + \frac{\left(x_{\text{pred}}-\bar{x}\right)^2}{s_x^2} \right]},
+\end{equation*}
+onde
+\begin{equation*}
+ c(n, \alpha_0) := T^{-1}\left(1-\frac{\alpha_0}{2}; n-2\right),
+\end{equation*}
+e
+\begin{equation*}
+ \hat{\sigma}_r^\prime := \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left(Y_i - \hat{\beta_0} - \hat{\beta_1}x_i \right)^2}{n-2}}.
+\end{equation*}
+Quando $x_{\text{pred}} = \bar{x}$ a expressão se reduz um pouco e podemos deduzir que a largura do intervalo é
+\begin{equation*}
+ \hat{l} = 2 \cdot c(n, \alpha_0) \cdot \hat{\sigma}_r^\prime \sqrt{\left[ 1+ \frac{1}{n}\right]}.
+\end{equation*}
+Desejamos, portanto, encontrar $n$ tal que
+\begin{align*}
+ \pr\left(\hat{l} < l\right) &\geq \gamma,\\
+ \pr\left( \hat{\sigma}_r^\prime < \frac{l}{2 \cdot c(n, \alpha_0) \cdot \sqrt{\left[ 1+ \frac{1}{n}\right]} }\right) &\geq \gamma,\\
+\end{align*}
+isto é conseguimos reduzir nossa afirmação probabilística a uma afirmação com respeito à f.d.a. (ou CDF) de $\hat{\sigma}_r^\prime$.
+Para completar nossos cálculos só precisamos nos lembrar que $n  \hat{\sigma}_r^\prime/\sigma^2$ tem distribuição qui-quadrado com $n-2$ graus de liberdade (De Groot, Teorema 11.3.2) e, portanto,
+\begin{equation*}
+ \pr\left(\hat{\sigma}_r^\prime \leq a \right) = F_\chi\left(\frac{\sigma^2}{n}a; n- 2\right).
+\end{equation*}
+$\blacksquare$\\
+\textbf{Comentário:} Nesta questão, retirada \textit{ipsis litteris} da A2 2021, trabalhamos os efeitos de centrar a variável independente na distribuição dos estimadores dos coefficientes.
+Além disso, trabalhamos ideias de desenho experimental, determinando o tamanho amostral necessário para que a banda de predição na média da variável independente tenha uma certa largura com alta probabilidade.
+}

provas/src/A2_2022_sol3.tex

@@ -0,0 +1,156 @@
+\documentclass[a4paper,10pt, notitlepage]{report}
+\usepackage[utf8]{inputenc}
+\usepackage{natbib}
+\usepackage{amssymb}
+\usepackage{amsmath}
+\usepackage{enumitem}
+\usepackage{xcolor}
+\usepackage{url}
+\usepackage{cancel}
+\usepackage{mathtools}
+\usepackage[portuguese]{babel}
+\usepackage{newclude}
+
+%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Notation stuff
+\newcommand{\pr}{\operatorname{Pr}} %% probability
+\newcommand{\vr}{\operatorname{Var}} %% variance
+\newcommand{\rs}{X_1, X_2, \ldots, X_n} %%  random sample
+\newcommand{\irs}{X_1, X_2, \ldots} %% infinite random sample
+\newcommand{\rsd}{x_1, x_2, \ldots, x_n} %%  random sample, realised
+\newcommand{\bX}{\boldsymbol{X}} %%  random sample, contracted form (bold)
+\newcommand{\bx}{\boldsymbol{x}} %%  random sample, realised, contracted form (bold)
+\newcommand{\bT}{\boldsymbol{T}} %%  Statistic, vector form (bold)
+\newcommand{\bt}{\boldsymbol{t}} %%  Statistic, realised, vector form (bold)
+\newcommand{\emv}{\hat{\theta}}
+\DeclarePairedDelimiter\ceil{\lceil}{\rceil}
+\DeclarePairedDelimiter\floor{\lfloor}{\rfloor}
+\DeclareMathOperator*{\argmax}{arg\,max}
+\DeclareMathOperator*{\argmin}{arg\,min}
+%%%%
+\newif\ifanswers
+\answerstrue % comment out to hide answers
+
+% Title Page
+\title{Segunda avaliação (A2)}
+\author{Disciplina: Inferência Estatística \\ Instrutor: Luiz Max Carvalho \\ Monitores: Jairon Nóia \& Tiago Silva}
+\date{26 de Novembro de 2022}
+
+\begin{document}
+\maketitle
+
+\begin{center}
+\fbox{\fbox{\parbox{1.0\textwidth}{\textsf{
+    \begin{itemize}
+        \item O tempo para realização da prova é de 3 horas;
+        \item Leia a prova toda com calma antes de começar a responder;
+        \item Responda todas as questões sucintamente;
+        \item Marque a resposta final claramente com um quadrado, círculo ou figura geométrica de sua preferência;
+        \item A prova vale 80 pontos. A pontuação restante é contada como bônus;
+        \item Apenas tente resolver a questão bônus quando tiver resolvido todo o resto;
+        \item Você tem direito a trazer \textbf{\underline{uma} folha de ``cola''} tamanho A4 frente e verso, que deverá ser entregue junto com as respostas da prova.
+    \end{itemize}}
+}}}
+\end{center}
+
+\newpage
+
+\section*{1. O estatístico e o poeta.}
+
+        \begin{center}\textit{
+        Eu te vejo sumir por aí\\
+        Te avisei que a cidade era um vão\\
+        Dá tua mão, olha pra mim\\
+        Não faz assim, não vai lá, não\\
+        Os letreiros a te colorir\\
+        Embaraçam a minha visão\\
+        Eu te vi suspirar de aflição\\
+        E sair da sessão frouxa de rir\\
+        Já te vejo brincando gostando de ser\\
+        Tua sombra a se multiplicar\\
+        Nos teus olhos também posso ver\\
+        As vitrines te vendo passar\\
+        Na galeria, cada clarão\\
+        É como um dia depois de outro dia\\
+        Abrindo um salão\\
+        Passas em exposição\\
+        Passas sem ver teu vigia\\
+        Catando a poesia\\
+        Que entornas no chão\\
+        }
+        \end{center}
+        \textit{As Vitrines (Almanaque, 1981)} de Chico Buarque (1944-).\\            
+        
+O eu-lírico da canção, que vamos chamar aqui de Ivo, pensa em seu amado, Adão.
+Adão é poeta, e tem a estranha mania de deixar cair seus poemas ao passear pelo shopping.
+Ivo, muito solícito e perdidamente apaixonado, corre atrás do companheiro catando os papéis que
+o desastrado deixa cair.
+Sendo estatístico, Ivo sabe que pode modelar o tempo entre a queda dos poemas como uma variável aleatória exponencial com taxa $\theta$.
+Ivo quer saber se será capaz de acompanhar Adão na sua jornada sem perder nenhum poema.
+Para isso, julga que se $\theta \leq \theta_0$, ele será capaz de catar toda a poesia deixada por Adão antes de ser carregada pelo vento.
+
+Suponha que Ivo observa o processo de queda de $n$ poemas e anota o tempo entre cada queda, formando a amostra $Y_1, Y_2, \ldots, Y_n$.
+Ivo considera a estatística de teste $S = \sum_{i=1}^n Y_i$ e constrói o teste $\delta_c$ de modo que, se $S \geq c$, ele rejeita a hipótese $H_0: \theta \leq \theta_0$.
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+ \item (10 pontos) Encontre a função poder do teste de Ivo.
+ \item (10 pontos) Mostre que a função poder do item anterior é~\textbf{não-decrescente} em $\theta$;
+ 
+ \textbf{Dica:} Se $X$ tem distribuição Gama com parâmetros $k \in \mathbb{N}$ e $\theta$, então 
+ \begin{equation*}
+     P_\theta \left(X \leq x \right) = e^{-x/\theta}\sum_{j = k}^\infty \frac{1}{j!}\left(\frac{x}{\theta}\right)^j.
+ \end{equation*}
+ \item (10 pontos) Encontre uma expressão para o tamanho $\alpha_0$ do teste $\delta_c$;
+ \item (10 pontos) O teste em questão é não-viesado? Justifique;
+\end{enumerate}
+\ifanswers
+\include*{A2_2022_sol1}
+\fi
+
+\section*{2. PO-KÉ-MON!} 
+
+Suponha que a Liga Internacional de Pokemon (LIP) tenha um sistema de \textit{pokescores} que podem assumir qualquer valor real. 
+Quanto maior o \textit{pokescore} de uma jogadora, mais alto no ranking mundial ela está.
+A liga se organiza em times de $n$ jogadores.
+
+Para entrar na liga, um time precisa ter um \textit{pokescore} médio superior a $\theta_0$, isto é, a média dos pokescores de seus jogadores precisa ser maior que $\theta_0$.
+Suponha que os \textit{pokescores} dentro de um time são distribuídos de acordo com uma distribuição Normal com média $\theta$ e variância $\sigma^2$, conhecida.
+Queremos desenvolver um método para incluir times num torneio automaticamente, baseado nos \textit{pokescores} dos seus integrantes.
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)] 
+ \item (5 pontos) Encontre uma quantidade pivotal para $\theta$;
+ \item (5 pontos) Utilizando a quantidade do item anterior, construa um intervalo de confiança de $95\%$ para $\theta$;
+ \item (10 pontos) A partir do intervalo encontrado, é possível testar $H_0: \theta \leq \theta_0$? Como?
+ \item (10 pontos) Se $\sigma^2$ fosse desconhecida, como você modificaria o teste do item anterior?
+ \item (5 pontos) Se aplicarmos os testes em (c) e (d) para selecionar times automaticamente, seremos injustos com alguns times, isto é, vamos deixar de incluir times que de fato se encaixam na condição de seleção.
+ Com que probabilidade isso acontece?
+ \item (5 pontos) Se quisermos diminuir a probabilidade do item anterior, o que podemos fazer? Que consequências isso tem?
+\end{enumerate} 
+\ifanswers
+\include*{A2_2022_sol2}
+\fi
+
+\section*{3. Run, Joey, run!\footnote{Linear regression is a war horse of Statistics. The horse in `War Horse' (2011) is named Joey.}}
+
+O modelo linear (de regressão) é um dos cavalos de batalha da Estatística, sendo aplicado em problemas de Finanças, Medicina e Engenharia.
+Vamos agora estudar como utilizar as propriedades deste modelo para desenhar experimentos com garantias matemáticas de desempenho e obter estimadores de quantidades de interesse.
+
+\begin{enumerate}[label=\alph*)]
+ \item (10 pontos) Uma prática comum em regressão é a de \textbf{centrar} a variável independente (covariável), isto é subtrair a média; isto facilita a interpretação do intercepto e também simplifica alguns cálculos importantes.
+ Mostre que no caso com a covariável centrada, $\hat{\beta_0}$ e $\hat{\beta_1}$ são independentes;
+ \item (10 pontos) Mais uma vez considerando o caso centrado, mostre 
+ como obter o número de observações $n$ que faz com que a variância do estimador de máxima verossimilhança do intercepto seja menor que $v > 0$;
+ \item (10 pontos) Mostre como obter um estimador não-viesado da quantidade $\theta = a\beta_0 + b\beta_1 + c$, com $a, b, c \neq 0$, e encontre o seu erro quadrático médio.
+ \item (10 pontos)  Quando $x_{\text{pred}} = \bar{x}$, mostre como obter  o número de observações $n$ necessário para que o intervalo de predição de $100(1-\alpha_0)\%$ para a variável-resposta ($Y$) tenha largura menor ou igual a $l>0$ com probabilidade pelo menos $\gamma$.
+ 
+ \textit{Dicas}:(i) A expressão dependerá~\textit{também} da variância dos resíduos, $\sigma^2$ e (ii) Você não precisa calcular $n$, apenas mostrar o procedimento para obtê-lo.
+ \end{enumerate}
+
+
+\ifanswers
+\include*{A2_2022_sol3}
+\fi
+
+% \bibliographystyle{apalike}
+% \bibliography{refs}
+
+\end{document}